แก้โจทย์ frac{7+sqrt{6}}{7-sqrt{6}}-frac{7-sqrt{6}}{7+sqrt{6}}

$$\frac { 7 + \sqrt { 6 } } { 7 - \sqrt { 6 } } - \frac { 7 - \sqrt { 6 } } { 7 + \sqrt { 6 } }$$

หาค่า

$$\frac{28\sqrt{6}}{43}\approx 1.595016577$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

ทำตัวส่วนของ \frac{7+\sqrt{6}}{7-\sqrt{6}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 7+\sqrt{6}

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

พิจารณา \left(7-\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}{7^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

ยกกำลังสอง 7 ยกกำลังสอง \sqrt{6}

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}{49-6}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

ลบ 6 จาก 49 เพื่อรับ 43

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

คูณ 7+\sqrt{6} และ 7+\sqrt{6} เพื่อรับ \left(7+\sqrt{6}\right)^{2}

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)^{2}}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(7+\sqrt{6}\right)^{2}

$$\frac{49+14\sqrt{6}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

รากที่สองของ \sqrt{6} คือ 6

$$\frac{49+14\sqrt{6}+6}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

เพิ่ม 49 และ 6 เพื่อให้ได้รับ 55

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 7-\sqrt{6}

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}$$

พิจารณา \left(7+\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}{7^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}$$

ยกกำลังสอง 7 ยกกำลังสอง \sqrt{6}

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}{49-6}$$

ลบ 6 จาก 49 เพื่อรับ 43

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}{43}$$

คูณ 7-\sqrt{6} และ 7-\sqrt{6} เพื่อรับ \left(7-\sqrt{6}\right)^{2}

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)^{2}}{43}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(7-\sqrt{6}\right)^{2}

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{49-14\sqrt{6}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}}{43}$$

รากที่สองของ \sqrt{6} คือ 6

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{49-14\sqrt{6}+6}{43}$$

เพิ่ม 49 และ 6 เพื่อให้ได้รับ 55

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{55-14\sqrt{6}}{43}$$

เนื่องจาก \frac{55+14\sqrt{6}}{43} และ \frac{55-14\sqrt{6}}{43} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{55+14\sqrt{6}-\left(55-14\sqrt{6}\right)}{43}$$

ทำการคูณใน 55+14\sqrt{6}-\left(55-14\sqrt{6}\right)

$$\frac{55+14\sqrt{6}-55+14\sqrt{6}}{43}$$

ทำการคำนวณใน 55+14\sqrt{6}-55+14\sqrt{6}

$$\frac{28\sqrt{6}}{43}$$