แก้โจทย์ frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

หาค่า k

$$k=-1$$

$$k=1$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4\left(3k^{2}+1\right)^{2} ตัวคูณร่วมน้อยของ \left(3k^{2}+1\right)^{2},4

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(k^{2}+1\right)^{2}

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 2 กับ 2 ให้ได้ 4

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 6 ด้วย k^{4}+2k^{2}+1

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(3k^{2}-1\right)^{2}

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 2 กับ 2 ให้ได้ 4

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 9k^{4}-6k^{2}+1 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

รวม 6k^{4} และ -9k^{4} เพื่อให้ได้รับ -3k^{4}

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

รวม 12k^{2} และ 6k^{2} เพื่อให้ได้รับ 18k^{2}

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

ลบ 1 จาก 6 เพื่อรับ 5

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย -3k^{4}+18k^{2}+5

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(3k^{2}+1\right)^{2}

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 2 กับ 2 ให้ได้ 4

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย 9k^{4}+6k^{2}+1

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

ลบ 45k^{4} จากทั้งสองด้าน

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

รวม -12k^{4} และ -45k^{4} เพื่อให้ได้รับ -57k^{4}

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

ลบ 30k^{2} จากทั้งสองด้าน

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

รวม 72k^{2} และ -30k^{2} เพื่อให้ได้รับ 42k^{2}

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

ลบ 5 จาก 20 เพื่อรับ 15

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

แทนค่า t สำหรับ k^{2}

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน -57 สำหรับ a 42 สำหรับ b และ 15 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

ทำการคำนวณ

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

แก้สมการ t=\frac{-42±72}{-114} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

เนื่องจาก k=t^{2} ได้ผลเฉลยโดยการหาค่า k=±\sqrt{t} สำหรับ t เชิงบวก

$$k=1 k=-1$$