แก้โจทย์ frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

หาค่า

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4.936685734$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

แยกตัวประกอบ 27=3^{2}\times 3 เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{3^{2}\times 3} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{3^{2}}\sqrt{3} หารากที่สองของ 3^{2}

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 4+\sqrt{3}

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

พิจารณา \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

ยกกำลังสอง 4 ยกกำลังสอง \sqrt{3}

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

ลบ 3 จาก 16 เพื่อรับ 13

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ 6+3\sqrt{3} กับแต่ละพจน์ของ 4+\sqrt{3}

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

รวม 6\sqrt{3} และ 12\sqrt{3} เพื่อให้ได้รับ 18\sqrt{3}

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

คูณ 3 และ 3 เพื่อรับ 9

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

เพิ่ม 24 และ 9 เพื่อให้ได้รับ 33

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$