แก้โจทย์ 57/16t^2-85/16t=-250

$$\frac { 57 } { 16 } t ^ { 2 } - \frac { 85 } { 16 } t = - 250$$

หาค่า t

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}\approx 0.745614035+8.343829954i$$

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}\approx 0.745614035-8.343829954i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

เพิ่ม 250 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=-250-\left(-250\right)$$

ลบ -250 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=0$$

ลบ -250 จาก 0

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t+250=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ \frac{57}{16} แทน a, -\frac{85}{16} แทน b และ 250 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\left(-\frac{85}{16}\right)^{2}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

ยกกำลังสอง -\frac{85}{16} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

คูณ -4 ด้วย \frac{57}{16}

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{57}{4}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

คูณ -\frac{57}{4} ด้วย 250

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{7125}{2}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

เพิ่ม \frac{7225}{256} ไปยัง -\frac{7125}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{-\frac{904775}{256}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

หารากที่สองของ -\frac{904775}{256}

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

ตรงข้ามกับ -\frac{85}{16} คือ \frac{85}{16}

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

คูณ 2 ด้วย \frac{57}{16}

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}$$

ตอนนี้ แก้สมการ t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม \frac{85}{16} ไปยัง \frac{5i\sqrt{36191}}{16}

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{\frac{57}{8}\times 16}$$

หาร \frac{85+5i\sqrt{36191}}{16} ด้วย \frac{57}{8} โดยคูณ \frac{85+5i\sqrt{36191}}{16} ด้วยส่วนกลับของ \frac{57}{8}

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}$$

ตอนนี้ แก้สมการ t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ \frac{5i\sqrt{36191}}{16} จาก \frac{85}{16}

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{\frac{57}{8}\times 16}$$

หาร \frac{85-5i\sqrt{36191}}{16} ด้วย \frac{57}{8} โดยคูณ \frac{85-5i\sqrt{36191}}{16} ด้วยส่วนกลับของ \frac{57}{8}

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{57}{16} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$\frac{\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t}{\frac{57}{16}}=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

หารด้วย \frac{57}{16} เลิกทำการคูณด้วย \frac{57}{16}

$$t^{2}+\left(-\frac{\frac{85}{16}}{\frac{57}{16}}\right)t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

หาร -\frac{85}{16} ด้วย \frac{57}{16} โดยคูณ -\frac{85}{16} ด้วยส่วนกลับของ \frac{57}{16}

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

หาร -250 ด้วย \frac{57}{16} โดยคูณ -250 ด้วยส่วนกลับของ \frac{57}{16}

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{4000}{57}$$

หาร -\frac{85}{57} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{85}{114} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{85}{114} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{4000}{57}+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{85}{114} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{4000}{57}+\frac{7225}{12996}$$

เพิ่ม -\frac{4000}{57} ไปยัง \frac{7225}{12996} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{904775}{12996}$$

ตัวประกอบt^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{904775}{12996}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{904775}{12996}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$t-\frac{85}{114}=\frac{5\sqrt{36191}i}{114} t-\frac{85}{114}=-\frac{5\sqrt{36191}i}{114}$$

เพิ่ม \frac{85}{114} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$