แก้โจทย์ frac{5-sqrt{7}}{5+sqrt{7}}+frac{5+sqrt{7}}{5-sqrt{7}}

$$\frac { 5 - \sqrt { 7 } } { 5 + \sqrt { 7 } } + \frac { 5 + \sqrt { 7 } } { 5 - \sqrt { 7 } }$$

หาค่า

$$\frac{32}{9}\approx 3.555555556$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

ทำตัวส่วนของ \frac{5-\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 5-\sqrt{7}

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

พิจารณา \left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

ยกกำลังสอง 5 ยกกำลังสอง \sqrt{7}

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{25-7}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

ลบ 7 จาก 25 เพื่อรับ 18

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

คูณ 5-\sqrt{7} และ 5-\sqrt{7} เพื่อรับ \left(5-\sqrt{7}\right)^{2}

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(5-\sqrt{7}\right)^{2}

$$\frac{25-10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

รากที่สองของ \sqrt{7} คือ 7

$$\frac{25-10\sqrt{7}+7}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

เพิ่ม 25 และ 7 เพื่อให้ได้รับ 32

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 5+\sqrt{7}

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}$$

พิจารณา \left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

ยกกำลังสอง 5 ยกกำลังสอง \sqrt{7}

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{25-7}$$

ลบ 7 จาก 25 เพื่อรับ 18

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{18}$$

คูณ 5+\sqrt{7} และ 5+\sqrt{7} เพื่อรับ \left(5+\sqrt{7}\right)^{2}

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(5+\sqrt{7}\right)^{2}

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

รากที่สองของ \sqrt{7} คือ 7

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+7}{18}$$

เพิ่ม 25 และ 7 เพื่อให้ได้รับ 32

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{32+10\sqrt{7}}{18}$$

เนื่องจาก \frac{32-10\sqrt{7}}{18} และ \frac{32+10\sqrt{7}}{18} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\frac{32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}}{18}$$

ทำการคำนวณใน 32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}

$$\frac{64}{18}$$

ทำเศษส่วน \frac{64}{18} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$\frac{32}{9}$$

แยกตัวประกอบ

$$\frac{2 ^ {5}}{3 ^ {2}} = 3\frac{5}{9} = 3.5555555555555554$$