แก้โจทย์ frac{5+sqrt{3}}{5-sqrt{3}}

$$\frac { 5 + \sqrt { 3 } } { 5 - \sqrt { 3 } }$$

หาค่า

$$\frac{5\sqrt{3}+14}{11}\approx 2.060023094$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ทำตัวส่วนของ \frac{5+\sqrt{3}}{5-\sqrt{3}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 5+\sqrt{3}

$$\frac{\left(5+\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)}{\left(5-\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)}$$

พิจารณา \left(5-\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(5+\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

ยกกำลังสอง 5 ยกกำลังสอง \sqrt{3}

$$\frac{\left(5+\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)}{25-3}$$

ลบ 3 จาก 25 เพื่อรับ 22

$$\frac{\left(5+\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)}{22}$$

คูณ 5+\sqrt{3} และ 5+\sqrt{3} เพื่อรับ \left(5+\sqrt{3}\right)^{2}

$$\frac{\left(5+\sqrt{3}\right)^{2}}{22}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(5+\sqrt{3}\right)^{2}

$$\frac{25+10\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{22}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$\frac{25+10\sqrt{3}+3}{22}$$

เพิ่ม 25 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 28

$$\frac{28+10\sqrt{3}}{22}$$