แก้โจทย์ frac{31sqrt{2}+31sqrt{5}}{2sqrt{10}-3}-frac{62sqrt{2}}{3-2sqrt{10}}

$$\frac { 31 \sqrt { 2 } + 31 \sqrt { 5 } } { 2 \sqrt { 10 } - 3 } - \frac { 62 \sqrt { 2 } } { 3 - 2 \sqrt { 10 } }$$

หาค่า

$$15\sqrt{5}+19\sqrt{2}\approx 60.411077348$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ทำตัวส่วนของ \frac{31\sqrt{2}+31\sqrt{5}}{2\sqrt{10}-3} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 2\sqrt{10}+3

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{\left(2\sqrt{10}-3\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

พิจารณา \left(2\sqrt{10}-3\right)\left(2\sqrt{10}+3\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{\left(2\sqrt{10}\right)^{2}-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

ขยาย \left(2\sqrt{10}\right)^{2}

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{2^{2}\left(\sqrt{10}\right)^{2}-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{4\left(\sqrt{10}\right)^{2}-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

รากที่สองของ \sqrt{10} คือ 10

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{4\times 10-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

คูณ 4 และ 10 เพื่อรับ 40

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{40-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

คำนวณ 3 กำลังของ 2 และรับ 9

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{40-9}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

ลบ 9 จาก 40 เพื่อรับ 31

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 3+2\sqrt{10}

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{\left(3-2\sqrt{10}\right)\left(3+2\sqrt{10}\right)}$$

พิจารณา \left(3-2\sqrt{10}\right)\left(3+2\sqrt{10}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{3^{2}-\left(-2\sqrt{10}\right)^{2}}$$

คำนวณ 3 กำลังของ 2 และรับ 9

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-\left(-2\sqrt{10}\right)^{2}}$$

ขยาย \left(-2\sqrt{10}\right)^{2}

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{10}\right)^{2}}$$

คำนวณ -2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-4\left(\sqrt{10}\right)^{2}}$$

รากที่สองของ \sqrt{10} คือ 10

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-4\times 10}$$

คูณ 4 และ 10 เพื่อรับ 40

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-40}$$

ลบ 40 จาก 9 เพื่อรับ -31

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{-31}$$

หาร 62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right) ด้วย -31 เพื่อรับ -2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\left(-2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)\right)$$

ตรงข้ามกับ -2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right) คือ 2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ 31\sqrt{2}+31\sqrt{5} กับแต่ละพจน์ของ 2\sqrt{10}+3

$$\frac{62\sqrt{10}\sqrt{2}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

แยกตัวประกอบ 10=2\times 5 เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{2\times 5} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{2}\sqrt{5}

$$\frac{62\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{2}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

คูณ \sqrt{2} และ \sqrt{2} เพื่อรับ 2

$$\frac{62\times 2\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

คูณ 62 และ 2 เพื่อรับ 124

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

แยกตัวประกอบ 10=5\times 2 เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{5\times 2} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{5}\sqrt{2}

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{5}\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

คูณ \sqrt{5} และ \sqrt{5} เพื่อรับ 5

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\times 5\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

คูณ 62 และ 5 เพื่อรับ 310

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+310\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

รวม 93\sqrt{2} และ 310\sqrt{2} เพื่อให้ได้รับ 403\sqrt{2}

$$\frac{124\sqrt{5}+403\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

รวม 124\sqrt{5} และ 93\sqrt{5} เพื่อให้ได้รับ 217\sqrt{5}

$$\frac{217\sqrt{5}+403\sqrt{2}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

หารแต่ละพจน์ของ 217\sqrt{5}+403\sqrt{2} ด้วย 31 ให้ได้ 7\sqrt{5}+13\sqrt{2}

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2\sqrt{2} ด้วย 3+2\sqrt{10}

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4\sqrt{10}\sqrt{2}$$

แยกตัวประกอบ 10=2\times 5 เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{2\times 5} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{2}\sqrt{5}

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{2}$$

คูณ \sqrt{2} และ \sqrt{2} เพื่อรับ 2

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4\times 2\sqrt{5}$$

คูณ 4 และ 2 เพื่อรับ 8

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+8\sqrt{5}$$

รวม 13\sqrt{2} และ 6\sqrt{2} เพื่อให้ได้รับ 19\sqrt{2}

$$7\sqrt{5}+19\sqrt{2}+8\sqrt{5}$$

รวม 7\sqrt{5} และ 8\sqrt{5} เพื่อให้ได้รับ 15\sqrt{5}

$$15\sqrt{5}+19\sqrt{2}$$

แยกตัวประกอบ

$$15 \sqrt{5} + 19 \sqrt{2} = 60.411077348$$