แก้โจทย์ 3/x-6+4/x+4

$$\frac { 3 } { x - 6 } + \frac { 4 } { x + 4 }$$

หาค่า

$$\frac{7x-12}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ x-6 และ x+4 คือ \left(x-6\right)\left(x+4\right) คูณ \frac{3}{x-6} ด้วย \frac{x+4}{x+4} คูณ \frac{4}{x+4} ด้วย \frac{x-6}{x-6}

$$\frac{3\left(x+4\right)}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)}+\frac{4\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)}$$

เนื่องจาก \frac{3\left(x+4\right)}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)} และ \frac{4\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\frac{3\left(x+4\right)+4\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)}$$

ทำการคูณใน 3\left(x+4\right)+4\left(x-6\right)

$$\frac{3x+12+4x-24}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 3x+12+4x-24

$$\frac{7x-12}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)}$$

ขยาย \left(x-6\right)\left(x+4\right)

$$\frac{7x-12}{x^{2}-2x-24}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\frac{-7x^{2}+24x-192}{\left(\left(x-6\right)\left(x+4\right)\right)^{2}}$$

ขั้นตอนที่ใช้กฎจากการพัฒนาสำหรับผลหาร

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ x-6 และ x+4 คือ \left(x-6\right)\left(x+4\right) คูณ \frac{3}{x-6} ด้วย \frac{x+4}{x+4} คูณ \frac{4}{x+4} ด้วย \frac{x-6}{x-6}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(x+4\right)}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)}+\frac{4\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)})$$

เนื่องจาก \frac{3\left(x+4\right)}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)} และ \frac{4\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(x+4\right)+4\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)})$$

ทำการคูณใน 3\left(x+4\right)+4\left(x-6\right)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x+12+4x-24}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)})$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 3x+12+4x-24

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x-12}{\left(x-6\right)\left(x+4\right)})$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ x-6 กับแต่ละพจน์ของ x+4

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x-12}{x^{2}+4x-6x-24})$$

รวม 4x และ -6x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x-12}{x^{2}-2x-24})$$

สำหรับสองฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของผลหารของทั้งสองฟังก์ชันคือ ตัวส่วนคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวเศษลบด้วยตัวเศษคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวส่วน ทั้งหมดถูกหารด้วยตัวส่วนที่ยกกำลังสองแล้ว

$$\frac{\left(x^{2}-2x^{1}-24\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(7x^{1}-12)-\left(7x^{1}-12\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-2x^{1}-24)}{\left(x^{2}-2x^{1}-24\right)^{2}}$$

อนุพันธ์ของพหุนามเป็นผลรวมของอนุพันธ์ของพจน์ในพหุนามนั้น อนุพันธ์ของพจน์คงตัวใดๆ คือ 0 อนุพันธ์ของ ax^{n} คือ nax^{n-1}

$$\frac{\left(x^{2}-2x^{1}-24\right)\times 7x^{1-1}-\left(7x^{1}-12\right)\left(2x^{2-1}-2x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}-2x^{1}-24\right)^{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{\left(x^{2}-2x^{1}-24\right)\times 7x^{0}-\left(7x^{1}-12\right)\left(2x^{1}-2x^{0}\right)}{\left(x^{2}-2x^{1}-24\right)^{2}}$$

คูณ x^{2}-2x^{1}-24 ด้วย 7x^{0}

$$\frac{x^{2}\times 7x^{0}-2x^{1}\times 7x^{0}-24\times 7x^{0}-\left(7x^{1}-12\right)\left(2x^{1}-2x^{0}\right)}{\left(x^{2}-2x^{1}-24\right)^{2}}$$

คูณ 7x^{1}-12 ด้วย 2x^{1}-2x^{0}

$$\frac{x^{2}\times 7x^{0}-2x^{1}\times 7x^{0}-24\times 7x^{0}-\left(7x^{1}\times 2x^{1}+7x^{1}\left(-2\right)x^{0}-12\times 2x^{1}-12\left(-2\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-2x^{1}-24\right)^{2}}$$

เมื่อต้องการคูณเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน เพิ่มเลขชี้กำลังของจำนวนเหล่านั้น

$$\frac{7x^{2}-2\times 7x^{1}-24\times 7x^{0}-\left(7\times 2x^{1+1}+7\left(-2\right)x^{1}-12\times 2x^{1}-12\left(-2\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-2x^{1}-24\right)^{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{7x^{2}-14x^{1}-168x^{0}-\left(14x^{2}-14x^{1}-24x^{1}+24x^{0}\right)}{\left(x^{2}-2x^{1}-24\right)^{2}}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$\frac{-7x^{2}+24x^{1}-192x^{0}}{\left(x^{2}-2x^{1}-24\right)^{2}}$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ให้ t^{1}=t

$$\frac{-7x^{2}+24x-192x^{0}}{\left(x^{2}-2x-24\right)^{2}}$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ยกเว้น 0 ให้ t^{0}=1

$$\frac{-7x^{2}+24x-192}{\left(x^{2}-2x-24\right)^{2}}$$