แก้โจทย์ 2x/x^2-100=2/15

$$\frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 100 } = \frac { 2 } { 15 }$$

หาค่า x

$$x=-5$$

$$x=20$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -10,10 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15\left(x-10\right)\left(x+10\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x^{2}-100,15

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

คูณ 15 และ 2 เพื่อรับ 30

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-10

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2x-20 ด้วย x+10 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$30x=2x^{2}-200$$

ลบ 2x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$30x-2x^{2}=-200$$

เพิ่ม 200 ไปทั้งสองด้าน

$$30x-2x^{2}+200=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$15x-x^{2}+100=0$$

จัดเรียงพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน วางตามลำดับจากดีกรีที่มากที่สุดไปหาน้อยที่สุด

$$-x^{2}+15x+100=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น -x^{2}+ax+bx+100 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=15 ab=-100=-100$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -100

$$-1,100 -2,50 -4,25 -5,20 -10,10$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+100=99 -2+50=48 -4+25=21 -5+20=15 -10+10=0$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 15

$$a=20 b=-5$$

เขียน -x^{2}+15x+100 ใหม่เป็น \left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right)

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right)$$

แยกตัวประกอบ -x ในกลุ่มแรกและ -5 ใน

$$-x\left(x-20\right)-5\left(x-20\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-20 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-20\right)\left(-x-5\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-20=0 และ -x-5=0

$$x=20 x=-5$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -10,10 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15\left(x-10\right)\left(x+10\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x^{2}-100,15

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

คูณ 15 และ 2 เพื่อรับ 30

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-10

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2x-20 ด้วย x+10 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$30x=2x^{2}-200$$

ลบ 2x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$30x-2x^{2}=-200$$

เพิ่ม 200 ไปทั้งสองด้าน

$$30x-2x^{2}+200=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-2x^{2}+30x+200=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -2 แทน a, 30 แทน b และ 200 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

ยกกำลังสอง 30

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -2

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+8\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

คูณ 8 ด้วย 200

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1600}}{2\left(-2\right)}$$

เพิ่ม 900 ไปยัง 1600

$$x=\frac{-30±\sqrt{2500}}{2\left(-2\right)}$$

หารากที่สองของ 2500

$$x=\frac{-30±50}{2\left(-2\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -2

$$x=\frac{-30±50}{-4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-30±50}{-4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -30 ไปยัง 50

$$x=\frac{20}{-4}$$

หาร 20 ด้วย -4

$$x=-5$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-30±50}{-4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 50 จาก -30

$$x=-\frac{80}{-4}$$

หาร -80 ด้วย -4

$$x=20$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-5 x=20$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -10,10 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15\left(x-10\right)\left(x+10\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x^{2}-100,15

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

คูณ 15 และ 2 เพื่อรับ 30

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-10

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2x-20 ด้วย x+10 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$30x=2x^{2}-200$$

ลบ 2x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$30x-2x^{2}=-200$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-2x^{2}+30x=-200$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$\frac{-2x^{2}+30x}{-2}=-\frac{200}{-2}$$

หารด้วย -2 เลิกทำการคูณด้วย -2

$$x^{2}+\frac{30}{-2}x=-\frac{200}{-2}$$

หาร 30 ด้วย -2

$$x^{2}-15x=-\frac{200}{-2}$$

หาร -200 ด้วย -2

$$x^{2}-15x=100$$

หาร -15 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{15}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{15}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{15}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=100+\frac{225}{4}$$

เพิ่ม 100 ไปยัง \frac{225}{4}

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}-15x+\frac{225}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{15}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{25}{2}$$

เพิ่ม \frac{15}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=20 x=-5$$