แก้โจทย์ 2r/r^2-1-1/r+1

$$\frac { 2 r } { r ^ { 2 } - 1 } - \frac { 1 } { r + 1 }$$

หาค่า

$$\frac{1}{r-1}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

แยกตัวประกอบ r^{2}-1

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1}$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ \left(r-1\right)\left(r+1\right) และ r+1 คือ \left(r-1\right)\left(r+1\right) คูณ \frac{1}{r+1} ด้วย \frac{r-1}{r-1}

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

เนื่องจาก \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} และ \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

ทำการคูณใน 2r-\left(r-1\right)

$$\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 2r-r+1

$$\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

ตัด r+1 ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน

$$\frac{1}{r-1}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. r

$$-\frac{1}{\left(r-1\right)^{2}}$$

ขั้นตอนที่ใช้กฎลูกโซ่

แยกตัวประกอบ r^{2}-1

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1})$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ \left(r-1\right)\left(r+1\right) และ r+1 คือ \left(r-1\right)\left(r+1\right) คูณ \frac{1}{r+1} ด้วย \frac{r-1}{r-1}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

เนื่องจาก \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} และ \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

ทำการคูณใน 2r-\left(r-1\right)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 2r-r+1

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

ตัด r+1 ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{1}{r-1})$$

ถ้า F เป็นส่วนประกอบของสองฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ f\left(u\right) และ u=g\left(x\right) นั่นคือ ถ้า F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right) ดังนั้น อนุพันธ์ของ F คืออนุพันธ์ของ f ที่สอดคล้องกับ u คูณด้วยอนุพันธ์ของ g ที่สอดคล้องกับ x นั่นคือ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right)

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(r^{1}-1)$$

อนุพันธ์ของพหุนามเป็นผลรวมของอนุพันธ์ของพจน์ในพหุนามนั้น อนุพันธ์ของพจน์คงตัวใดๆ คือ 0 อนุพันธ์ของ ax^{n} คือ nax^{n-1}

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-2}r^{1-1}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-r^{0}\left(r^{1}-1\right)^{-2}$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ให้ t^{1}=t

$$-r^{0}\left(r-1\right)^{-2}$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ยกเว้น 0 ให้ t^{0}=1

$$-\left(r-1\right)^{-2}$$