แก้โจทย์ 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

หาค่า x

$$x=-1$$

$$x=12$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -6,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย x\left(x+6\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x,x+6

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x+6 ด้วย 2

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

รวม 2x และ x\times 15 เพื่อให้ได้รับ 17x

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย x+6

$$17x+12=x^{2}+6x$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$17x+12-x^{2}=6x$$

ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

รวม 17x และ -6x เพื่อให้ได้รับ 11x

$$11x+12-x^{2}=0$$

จัดเรียงพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน วางตามลำดับจากดีกรีที่มากที่สุดไปหาน้อยที่สุด

$$-x^{2}+11x+12=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น -x^{2}+ax+bx+12 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวกจำนวนบวกมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจุดลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -12

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 11

$$a=12 b=-1$$

เขียน -x^{2}+11x+12 ใหม่เป็น \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

แยกตัวประกอบ -x ในกลุ่มแรกและ -1 ใน

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-12 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-12=0 และ -x-1=0

$$x=12 x=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -6,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย x\left(x+6\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x,x+6

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x+6 ด้วย 2

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

รวม 2x และ x\times 15 เพื่อให้ได้รับ 17x

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย x+6

$$17x+12=x^{2}+6x$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$17x+12-x^{2}=6x$$

ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

รวม 17x และ -6x เพื่อให้ได้รับ 11x

$$11x+12-x^{2}=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-x^{2}+11x+12=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, 11 แทน b และ 12 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

ยกกำลังสอง 11

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 4 ด้วย 12

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม 121 ไปยัง 48

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

หารากที่สองของ 169

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-11±13}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -11 ไปยัง 13

$$x=\frac{2}{-2}$$

หาร 2 ด้วย -2

$$x=-1$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-11±13}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 13 จาก -11

$$x=-\frac{24}{-2}$$

หาร -24 ด้วย -2

$$x=12$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-1 x=12$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -6,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย x\left(x+6\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x,x+6

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x+6 ด้วย 2

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

รวม 2x และ x\times 15 เพื่อให้ได้รับ 17x

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย x+6

$$17x+12=x^{2}+6x$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$17x+12-x^{2}=6x$$

ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

รวม 17x และ -6x เพื่อให้ได้รับ 11x

$$11x+12-x^{2}=0$$

ลบ 12 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$11x-x^{2}=-12$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-x^{2}+11x=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

หารด้วย -1 เลิกทำการคูณด้วย -1

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

หาร 11 ด้วย -1

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

หาร -12 ด้วย -1

$$x^{2}-11x=12$$

หาร -11 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{11}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{11}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{11}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

เพิ่ม 12 ไปยัง \frac{121}{4}

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}-11x+\frac{121}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

เพิ่ม \frac{11}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=12 x=-1$$