แก้โจทย์ 2/x^2-3x+2+1/x^2+3x+2=4/x^2-4

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } = \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

หาค่า x

$$x=5$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -2,-1,1,2 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x+2 ด้วย x+1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}+3x+2 ด้วย 2

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x-2 ด้วย x-1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

รวม 2x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 3x^{2}

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

รวม 6x และ -3x เพื่อให้ได้รับ 3x

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

เพิ่ม 4 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 6

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}-1 ด้วย 4

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

ลบ 4x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

รวม 3x^{2} และ -4x^{2} เพื่อให้ได้รับ -x^{2}

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

เพิ่ม 6 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 10

$$-x^{2}+3x+10=0$$

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก -x^{2}+ax+bx+10 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้าม เนื่องจาก a+b เป็นค่าบวกหมายเลขบวกมีค่าสัมบูรณ์มากเกินกว่าค่าลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -10

$$-1,10 -2,5$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1+10=9 -2+5=3$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม 3

$$a=5 b=-2$$

เขียน -x^{2}+3x+10 ใหม่เป็น \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

แยกตัวประกอบ -x ในกลุ่มแรกและ -2 ในกลุ่มที่สอง

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-5 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ x-5=0 และ -x-2=0

$$x=5 x=-2$$

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ -2

$$x=5$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -2,-1,1,2 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x+2 ด้วย x+1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}+3x+2 ด้วย 2

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x-2 ด้วย x-1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

รวม 2x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 3x^{2}

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

รวม 6x และ -3x เพื่อให้ได้รับ 3x

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

เพิ่ม 4 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 6

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}-1 ด้วย 4

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

ลบ 4x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

รวม 3x^{2} และ -4x^{2} เพื่อให้ได้รับ -x^{2}

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

เพิ่ม 6 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 10

$$-x^{2}+3x+10=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, 3 แทน b และ 10 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

ยกกำลังสอง 3

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 4 ด้วย 10

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม 9 ไปยัง 40

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

หารากที่สองของ 49

$$x=\frac{-3±7}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$x=\frac{-3±7}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-3±7}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -3 ไปยัง 7

$$x=\frac{4}{-2}$$

หาร 4 ด้วย -2

$$x=-2$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-3±7}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 7 จาก -3

$$x=-\frac{10}{-2}$$

หาร -10 ด้วย -2

$$x=5$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-2 x=5$$

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ -2

$$x=5$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -2,-1,1,2 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x+2 ด้วย x+1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}+3x+2 ด้วย 2

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x-2 ด้วย x-1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

รวม 2x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 3x^{2}

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

รวม 6x และ -3x เพื่อให้ได้รับ 3x

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

เพิ่ม 4 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 6

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}-1 ด้วย 4

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

ลบ 4x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

รวม 3x^{2} และ -4x^{2} เพื่อให้ได้รับ -x^{2}

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน

$$-x^{2}+3x=-4-6$$

ลบ 6 จาก -4 เพื่อรับ -10

$$-x^{2}+3x=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

หารด้วย -1 เลิกทำการคูณด้วย -1

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

หาร 3 ด้วย -1

$$x^{2}-3x=-\frac{10}{-1}$$

หาร -10 ด้วย -1

$$x^{2}-3x=10$$

หาร -3 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{3}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{3}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{3}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

เพิ่ม 10 ไปยัง \frac{9}{4}

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

ตัวประกอบ x^{2}-3x+\frac{9}{4} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

เพิ่ม \frac{3}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=5 x=-2$$

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ -2

$$x=5$$