แก้โจทย์ 2/x+4+3/x

$$\frac { 2 } { x + 4 } + \frac { 3 } { x }$$

หาค่า

$$\frac{5x+12}{x\left(x+4\right)}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ x+4 และ x คือ x\left(x+4\right) คูณ \frac{2}{x+4} ด้วย \frac{x}{x} คูณ \frac{3}{x} ด้วย \frac{x+4}{x+4}

$$\frac{2x}{x\left(x+4\right)}+\frac{3\left(x+4\right)}{x\left(x+4\right)}$$

เนื่องจาก \frac{2x}{x\left(x+4\right)} และ \frac{3\left(x+4\right)}{x\left(x+4\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\frac{2x+3\left(x+4\right)}{x\left(x+4\right)}$$

ทำการคูณใน 2x+3\left(x+4\right)

$$\frac{2x+3x+12}{x\left(x+4\right)}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 2x+3x+12

$$\frac{5x+12}{x\left(x+4\right)}$$

ขยาย x\left(x+4\right)

$$\frac{5x+12}{x^{2}+4x}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$-\frac{5x^{2}+24x+48}{\left(x\left(x+4\right)\right)^{2}}$$

ขั้นตอนที่ใช้กฎจากการพัฒนาสำหรับผลหาร

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ x+4 และ x คือ x\left(x+4\right) คูณ \frac{2}{x+4} ด้วย \frac{x}{x} คูณ \frac{3}{x} ด้วย \frac{x+4}{x+4}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x}{x\left(x+4\right)}+\frac{3\left(x+4\right)}{x\left(x+4\right)})$$

เนื่องจาก \frac{2x}{x\left(x+4\right)} และ \frac{3\left(x+4\right)}{x\left(x+4\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+3\left(x+4\right)}{x\left(x+4\right)})$$

ทำการคูณใน 2x+3\left(x+4\right)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+3x+12}{x\left(x+4\right)})$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 2x+3x+12

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x+12}{x\left(x+4\right)})$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย x+4

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x+12}{x^{2}+4x})$$

สำหรับสองฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของผลหารของทั้งสองฟังก์ชันคือ ตัวส่วนคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวเศษลบด้วยตัวเศษคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวส่วน ทั้งหมดถูกหารด้วยตัวส่วนที่ยกกำลังสองแล้ว

$$\frac{\left(x^{2}+4x^{1}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(5x^{1}+12)-\left(5x^{1}+12\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+4x^{1})}{\left(x^{2}+4x^{1}\right)^{2}}$$

อนุพันธ์ของพหุนามเป็นผลรวมของอนุพันธ์ของพจน์ในพหุนามนั้น อนุพันธ์ของพจน์คงตัวใดๆ คือ 0 อนุพันธ์ของ ax^{n} คือ nax^{n-1}

$$\frac{\left(x^{2}+4x^{1}\right)\times 5x^{1-1}-\left(5x^{1}+12\right)\left(2x^{2-1}+4x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}+4x^{1}\right)^{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{\left(x^{2}+4x^{1}\right)\times 5x^{0}-\left(5x^{1}+12\right)\left(2x^{1}+4x^{0}\right)}{\left(x^{2}+4x^{1}\right)^{2}}$$

คูณ x^{2}+4x^{1} ด้วย 5x^{0}

$$\frac{x^{2}\times 5x^{0}+4x^{1}\times 5x^{0}-\left(5x^{1}+12\right)\left(2x^{1}+4x^{0}\right)}{\left(x^{2}+4x^{1}\right)^{2}}$$

คูณ 5x^{1}+12 ด้วย 2x^{1}+4x^{0}

$$\frac{x^{2}\times 5x^{0}+4x^{1}\times 5x^{0}-\left(5x^{1}\times 2x^{1}+5x^{1}\times 4x^{0}+12\times 2x^{1}+12\times 4x^{0}\right)}{\left(x^{2}+4x^{1}\right)^{2}}$$

เมื่อต้องการคูณเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน เพิ่มเลขชี้กำลังของจำนวนเหล่านั้น

$$\frac{5x^{2}+4\times 5x^{1}-\left(5\times 2x^{1+1}+5\times 4x^{1}+12\times 2x^{1}+12\times 4x^{0}\right)}{\left(x^{2}+4x^{1}\right)^{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{5x^{2}+20x^{1}-\left(10x^{2}+20x^{1}+24x^{1}+48x^{0}\right)}{\left(x^{2}+4x^{1}\right)^{2}}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$\frac{-5x^{2}-24x^{1}-48x^{0}}{\left(x^{2}+4x^{1}\right)^{2}}$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ให้ t^{1}=t

$$\frac{-5x^{2}-24x-48x^{0}}{\left(x^{2}+4x\right)^{2}}$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ยกเว้น 0 ให้ t^{0}=1

$$\frac{-5x^{2}-24x-48}{\left(x^{2}+4x\right)^{2}}$$