แก้โจทย์ 2/sqrt{2-2}+frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1}-frac{sqrt{32}}{2}

$$\frac { 2 } { \sqrt { 2 } - 2 } + \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } - \frac { \sqrt { 32 } } { 2 }$$

หาค่า

$$1-\sqrt{2}\approx -0.414213562$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ทำตัวส่วนของ \frac{2}{\sqrt{2}-2} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{2}+2

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

พิจารณา \left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{2} ยกกำลังสอง 2

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{2-4}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

ลบ 4 จาก 2 เพื่อรับ -2

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{-2}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

ตัด -2 และ -2

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{2}+1

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

พิจารณา \left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{2} ยกกำลังสอง 1

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{2-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

ลบ 1 จาก 2 เพื่อรับ 1

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

สิ่งใดก็ตามที่หารด้วยหนึ่งจะได้ตัวเอง

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

คูณ \sqrt{2}+1 และ \sqrt{2}+1 เพื่อรับ \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

แยกตัวประกอบ 32=4^{2}\times 2 เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{4^{2}\times 2} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{4^{2}}\sqrt{2} หารากที่สองของ 4^{2}

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{4\sqrt{2}}{2}$$

หาร 4\sqrt{2} ด้วย 2 เพื่อรับ 2\sqrt{2}

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ \sqrt{2}+2 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$-\sqrt{2}-2+2+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

เพิ่ม 2 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 3

$$-\sqrt{2}-2+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

เพิ่ม -2 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 1

$$-\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

รวม -\sqrt{2} และ 2\sqrt{2} เพื่อให้ได้รับ \sqrt{2}

$$\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

รวม \sqrt{2} และ -2\sqrt{2} เพื่อให้ได้รับ -\sqrt{2}

$$-\sqrt{2}+1$$

แยกตัวประกอบ

$$1-\sqrt{2}$$