แก้โจทย์ frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

หาค่า b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

ทำตัวส่วนของ \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} ให้เป็นตรรกยะโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 2+\sqrt{3}

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

พิจารณา \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

ยกกำลังสอง 2 ยกกำลังสอง \sqrt{3}

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

ลบ 3 จาก 4 เพื่อรับ 1

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

สิ่งใดก็ตามที่หารด้วยหนึ่งจะได้ตัวเอง

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

คูณ 2+\sqrt{3} และ 2+\sqrt{3} เพื่อรับ \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

เพิ่ม 4 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 7

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

ลบ a จากทั้งสองด้าน

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย \sqrt{3}

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

หารด้วย \sqrt{3} เลิกทำการคูณด้วย \sqrt{3}

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

หาร 4\sqrt{3}-a+7 ด้วย \sqrt{3}

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

หาค่า a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$