แก้โจทย์ 1/x-2-4/x^2-4=1

$$\frac { 1 } { x - 2 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1$$

หาค่า x

$$x=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -2,2 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(x-2\right)\left(x+2\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x-2,x^{2}-4

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

ลบ 4 จาก 2 เพื่อรับ -2

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

พิจารณา \left(x-2\right)\left(x+2\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้ ยกกำลังสอง 2

$$x-2=x^{2}-4$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x-2-x^{2}=-4$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$x-2-x^{2}+4=0$$

เพิ่ม -2 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 2

$$x+2-x^{2}=0$$

จัดเรียงพหุเพื่อวางไว้ในรูปแบบมาตรฐาน วางพจน์ตามลำดับจากกำลังสูงสุดถึงต่ำสุด

$$-x^{2}+x+2=0$$

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก -x^{2}+ax+bx+2 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้าม เนื่องจาก a+b เป็นค่าบวกหมายเลขบวกมีค่าสัมบูรณ์มากเกินกว่าค่าลบ คู่ดังกล่าวเท่านั้นที่เป็นผลเฉลยระบบ

$$a=2 b=-1$$

เขียน -x^{2}+x+2 ใหม่เป็น \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right)

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right)$$

แยกตัวประกอบ -x ในกลุ่มแรกและ -1 ในกลุ่มที่สอง

$$-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-2 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-2\right)\left(-x-1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ x-2=0 และ -x-1=0

$$x=2 x=-1$$

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ 2

$$x=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -2,2 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(x-2\right)\left(x+2\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x-2,x^{2}-4

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

ลบ 4 จาก 2 เพื่อรับ -2

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

พิจารณา \left(x-2\right)\left(x+2\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้ ยกกำลังสอง 2

$$x-2=x^{2}-4$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x-2-x^{2}=-4$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$x-2-x^{2}+4=0$$

เพิ่ม -2 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 2

$$x+2-x^{2}=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-x^{2}+x+2=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, 1 แทน b และ 2 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

ยกกำลังสอง 1

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 4 ด้วย 2

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 8

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

หารากที่สองของ 9

$$x=\frac{-1±3}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$x=\frac{-1±3}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-1±3}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -1 ไปยัง 3

$$x=\frac{2}{-2}$$

หาร 2 ด้วย -2

$$x=-1$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-1±3}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 3 จาก -1

$$x=-\frac{4}{-2}$$

หาร -4 ด้วย -2

$$x=2$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-1 x=2$$

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ 2

$$x=-1$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -2,2 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(x-2\right)\left(x+2\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x-2,x^{2}-4

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

ลบ 4 จาก 2 เพื่อรับ -2

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

พิจารณา \left(x-2\right)\left(x+2\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้ ยกกำลังสอง 2

$$x-2=x^{2}-4$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x-2-x^{2}=-4$$

เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน

$$x-x^{2}=-4+2$$

เพิ่ม -4 และ 2 เพื่อให้ได้รับ -2

$$x-x^{2}=-2$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-x^{2}+x=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

หารด้วย -1 เลิกทำการคูณด้วย -1

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{2}{-1}$$

หาร 1 ด้วย -1

$$x^{2}-x=-\frac{2}{-1}$$

หาร -2 ด้วย -1

$$x^{2}-x=2$$

หาร -1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม 2 ไปยัง \frac{1}{4}

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

ตัวประกอบ x^{2}-x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=2 x=-1$$

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ 2

$$x=-1$$