แก้โจทย์ 1/x^2-1-2/x^2+3x-4+1/x^2-2x-3

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } - 1 } - \frac { 2 } { x ^ { 2 } + 3 x - 4 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 2 x - 3 }$$

หาค่า

$$\frac{2\left(4x-5\right)}{\left(x-3\right)\left(x+4\right)\left(x^{2}-1\right)}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

แยกตัวประกอบ x^{2}-1 แยกตัวประกอบ x^{2}+3x-4

$$\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x+4\right)}+\frac{1}{x^{2}-2x-3}$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ \left(x-1\right)\left(x+1\right) และ \left(x-1\right)\left(x+4\right) คือ \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right) คูณ \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} ด้วย \frac{x+4}{x+4} คูณ \frac{2}{\left(x-1\right)\left(x+4\right)} ด้วย \frac{x+1}{x+1}

$$\frac{x+4}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)}-\frac{2\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)}+\frac{1}{x^{2}-2x-3}$$

เนื่องจาก \frac{x+4}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)} และ \frac{2\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{x+4-2\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)}+\frac{1}{x^{2}-2x-3}$$

ทำการคูณใน x+4-2\left(x+1\right)

$$\frac{x+4-2x-2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)}+\frac{1}{x^{2}-2x-3}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน x+4-2x-2

$$\frac{-x+2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)}+\frac{1}{x^{2}-2x-3}$$

แยกตัวประกอบ x^{2}-2x-3

$$\frac{-x+2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)}+\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right) และ \left(x-3\right)\left(x+1\right) คือ \left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right) คูณ \frac{-x+2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)} ด้วย \frac{x-3}{x-3} คูณ \frac{1}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)} ด้วย \frac{\left(x-1\right)\left(x+4\right)}{\left(x-1\right)\left(x+4\right)}

$$\frac{\left(-x+2\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+4\right)}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)}$$

เนื่องจาก \frac{\left(-x+2\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)} และ \frac{\left(x-1\right)\left(x+4\right)}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\frac{\left(-x+2\right)\left(x-3\right)+\left(x-1\right)\left(x+4\right)}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)}$$

ทำการคูณใน \left(-x+2\right)\left(x-3\right)+\left(x-1\right)\left(x+4\right)

$$\frac{-x^{2}+3x+2x-6+x^{2}+4x-x-4}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน -x^{2}+3x+2x-6+x^{2}+4x-x-4

$$\frac{8x-10}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)}$$

ขยาย \left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)

$$\frac{8x-10}{x^{4}+x^{3}-13x^{2}-x+12}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\frac{2\left(43-130x+67x^{2}+12x^{3}-12x^{4}\right)}{\left(\left(x-3\right)\left(x+4\right)\left(x^{2}-1\right)\right)^{2}}$$