แก้โจทย์ 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

หาค่า x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -1,1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(x-1\right)\left(x+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x+1,x-1,x^{2}-1

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x+1 ด้วย 2

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

รวม x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 3x

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

เพิ่ม -1 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 1

$$3x+1=x^{2}+2x$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$3x+1-x^{2}=2x$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

รวม 3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+1-x^{2}=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-x^{2}+x+1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, 1 แทน b และ 1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

ยกกำลังสอง 1

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 4

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -1 ไปยัง \sqrt{5}

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

หาร -1+\sqrt{5} ด้วย -2

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ \sqrt{5} จาก -1

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

หาร -1-\sqrt{5} ด้วย -2

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -1,1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(x-1\right)\left(x+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x+1,x-1,x^{2}-1

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x+1 ด้วย 2

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

รวม x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 3x

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

เพิ่ม -1 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 1

$$3x+1=x^{2}+2x$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$3x+1-x^{2}=2x$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

รวม 3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+1-x^{2}=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$x-x^{2}=-1$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-x^{2}+x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

หารด้วย -1 เลิกทำการคูณด้วย -1

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

หาร 1 ด้วย -1

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

หาร -1 ด้วย -1

$$x^{2}-x=1$$

หาร -1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง \frac{1}{4}

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}-x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$