แก้โจทย์ frac{(sqrt{5}-sqrt{2})(3sqrt{5}+sqrt{2})}{3sqrt{5}+2sqrt{2}}

$$\frac { ( \sqrt { 5 } - \sqrt { 2 } ) ( 3 \sqrt { 5 } + \sqrt { 2 } ) } { 3 \sqrt { 5 } + 2 \sqrt { 2 } }$$

หาค่า

$$\frac{47\sqrt{5}-56\sqrt{2}}{37}\approx 0.699979336$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ทำตัวส่วนของ \frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{3\sqrt{5}+2\sqrt{2}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 3\sqrt{5}-2\sqrt{2}

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{5}+2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}$$

พิจารณา \left(3\sqrt{5}+2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

ขยาย \left(3\sqrt{5}\right)^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{3^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

คำนวณ 3 กำลังของ 2 และรับ 9

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{9\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{9\times 5-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

คูณ 9 และ 5 เพื่อรับ 45

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

ขยาย \left(2\sqrt{2}\right)^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-4\times 2}$$

คูณ 4 และ 2 เพื่อรับ 8

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-8}$$

ลบ 8 จาก 45 เพื่อรับ 37

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ \sqrt{5}-\sqrt{2} กับแต่ละพจน์ของ 3\sqrt{5}+\sqrt{2}

$$\frac{\left(3\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$\frac{\left(3\times 5+\sqrt{5}\sqrt{2}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

คูณ 3 และ 5 เพื่อรับ 15

$$\frac{\left(15+\sqrt{5}\sqrt{2}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

เมื่อต้องการคูณ \sqrt{5} และ \sqrt{2} ให้คูณตัวเลขภายใต้รากที่สอง

$$\frac{\left(15+\sqrt{10}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

เมื่อต้องการคูณ \sqrt{2} และ \sqrt{5} ให้คูณตัวเลขภายใต้รากที่สอง

$$\frac{\left(15+\sqrt{10}-3\sqrt{10}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

รวม \sqrt{10} และ -3\sqrt{10} เพื่อให้ได้รับ -2\sqrt{10}

$$\frac{\left(15-2\sqrt{10}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$\frac{\left(15-2\sqrt{10}-2\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

ลบ 2 จาก 15 เพื่อรับ 13

$$\frac{\left(13-2\sqrt{10}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ 13-2\sqrt{10} กับแต่ละพจน์ของ 3\sqrt{5}-2\sqrt{2}

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-6\sqrt{10}\sqrt{5}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

แยกตัวประกอบ 10=5\times 2 เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{5\times 2} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{5}\sqrt{2}

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-6\sqrt{5}\sqrt{2}\sqrt{5}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

คูณ \sqrt{5} และ \sqrt{5} เพื่อรับ 5

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-6\times 5\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

คูณ -6 และ 5 เพื่อรับ -30

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-30\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

รวม -26\sqrt{2} และ -30\sqrt{2} เพื่อให้ได้รับ -56\sqrt{2}

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

แยกตัวประกอบ 10=2\times 5 เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{2\times 5} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{2}\sqrt{5}

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{5}}{37}$$

คูณ \sqrt{2} และ \sqrt{2} เพื่อรับ 2

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+4\times 2\sqrt{5}}{37}$$

คูณ 4 และ 2 เพื่อรับ 8

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+8\sqrt{5}}{37}$$

รวม 39\sqrt{5} และ 8\sqrt{5} เพื่อให้ได้รับ 47\sqrt{5}

$$\frac{47\sqrt{5}-56\sqrt{2}}{37}$$