แก้โจทย์ frac{sqrt{7}+sqrt{5}}{sqrt{7}-sqrt{5}}+frac{sqrt{7}-sqrt{5}}{sqrt{7}+sqrt{5}}=

$$\frac { \sqrt { 7 } + \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } - \sqrt { 5 } } + \frac { \sqrt { 7 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } + \sqrt { 5 } } =$$

หาค่า

$$12$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ทำตัวส่วนของ \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} ให้เป็นตรรกยะโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{7}+\sqrt{5}

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

พิจารณา \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{7} ยกกำลังสอง \sqrt{5}

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{7-5}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

ลบ 5 จาก 7 เพื่อรับ 2

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

คูณ \sqrt{7}+\sqrt{5} และ \sqrt{7}+\sqrt{5} เพื่อรับ \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}+2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

รากที่สองของ \sqrt{7} คือ 7

$$\frac{7+2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

เมื่อต้องการคูณ \sqrt{7} และ \sqrt{5} ให้คูณตัวเลขภายใต้รากที่สอง

$$\frac{7+2\sqrt{35}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$\frac{7+2\sqrt{35}+5}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

เพิ่ม 7 และ 5 เพื่อให้ได้รับ 12

$$\frac{12+2\sqrt{35}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

หารแต่ละพจน์ของ 12+2\sqrt{35} ด้วย 2 ให้ได้ 6+\sqrt{35}

$$6+\sqrt{35}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} ให้เป็นตรรกยะโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{7}-\sqrt{5}

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}$$

พิจารณา \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{7} ยกกำลังสอง \sqrt{5}

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{7-5}$$

ลบ 5 จาก 7 เพื่อรับ 2

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{2}$$

คูณ \sqrt{7}-\sqrt{5} และ \sqrt{7}-\sqrt{5} เพื่อรับ \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{7} คือ 7

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

เมื่อต้องการคูณ \sqrt{7} และ \sqrt{5} ให้คูณตัวเลขภายใต้รากที่สอง

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{35}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{35}+5}{2}$$

เพิ่ม 7 และ 5 เพื่อให้ได้รับ 12

$$6+\sqrt{35}+\frac{12-2\sqrt{35}}{2}$$

หารแต่ละพจน์ของ 12-2\sqrt{35} ด้วย 2 ให้ได้ 6-\sqrt{35}

$$6+\sqrt{35}+6-\sqrt{35}$$

เพิ่ม 6 และ 6 เพื่อให้ได้รับ 12

$$12+\sqrt{35}-\sqrt{35}$$

รวม \sqrt{35} และ -\sqrt{35} เพื่อให้ได้รับ 0

$$12$$

แยกตัวประกอบ

$$2^{2}\times 3$$