แก้โจทย์ frac{sqrt{5}+sqrt{3}}{sqrt{5}-sqrt{3}}-frac{sqrt{5}-sqrt{3}}{sqrt{5}+sqrt{3}}=2sqrt{15}

$$\frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } } - \frac { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } = 2 \sqrt { 15 }$$

ตรวจสอบ

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ทำตัวส่วนของ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} ให้เป็นตรรกยะโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{5}+\sqrt{3}

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

พิจารณา \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{5} ยกกำลังสอง \sqrt{3}

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{5-3}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

ลบ 3 จาก 5 เพื่อรับ 2

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

คูณ \sqrt{5}+\sqrt{3} และ \sqrt{5}+\sqrt{3} เพื่อรับ \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$\frac{5+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

เมื่อต้องการคูณ \sqrt{5} และ \sqrt{3} ให้คูณตัวเลขภายใต้รากที่สอง

$$\frac{5+2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$\frac{5+2\sqrt{15}+3}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

เพิ่ม 5 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 8

$$\frac{8+2\sqrt{15}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

หารแต่ละพจน์ของ 8+2\sqrt{15} ด้วย 2 ให้ได้ 4+\sqrt{15}

$$4+\sqrt{15}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} ให้เป็นตรรกยะโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{5}-\sqrt{3}

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=2\sqrt{15}$$

พิจารณา \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=2\sqrt{15}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{5} ยกกำลังสอง \sqrt{3}

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}=2\sqrt{15}$$

ลบ 3 จาก 5 เพื่อรับ 2

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}=2\sqrt{15}$$

คูณ \sqrt{5}-\sqrt{3} และ \sqrt{5}-\sqrt{3} เพื่อรับ \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

เมื่อต้องการคูณ \sqrt{5} และ \sqrt{3} ให้คูณตัวเลขภายใต้รากที่สอง

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{15}+3}{2}=2\sqrt{15}$$

เพิ่ม 5 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 8

$$4+\sqrt{15}-\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=2\sqrt{15}$$

หารแต่ละพจน์ของ 8-2\sqrt{15} ด้วย 2 ให้ได้ 4-\sqrt{15}

$$4+\sqrt{15}-\left(4-\sqrt{15}\right)=2\sqrt{15}$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 4-\sqrt{15} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$4+\sqrt{15}-4-\left(-\sqrt{15}\right)=2\sqrt{15}$$

ตรงข้ามกับ -\sqrt{15} คือ \sqrt{15}

$$4+\sqrt{15}-4+\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

ลบ 4 จาก 4 เพื่อรับ 0

$$\sqrt{15}+\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

รวม \sqrt{15} และ \sqrt{15} เพื่อให้ได้รับ 2\sqrt{15}

$$2\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

ลบ 2\sqrt{15} จากทั้งสองด้าน

$$2\sqrt{15}-2\sqrt{15}=0$$

รวม 2\sqrt{15} และ -2\sqrt{15} เพื่อให้ได้รับ 0

$$0=0$$

เปรียบเทียบ 0 กับ 0

$$\text{true}$$