แก้โจทย์ =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

แยกตัวประกอบ

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

เมื่อต้องการแยกตัวประกอบนิพจน์ ให้แก้สมการที่นิพจน์เท่ากับ 0

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -9 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 20 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=\frac{1}{2}$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร 20x^{4}+31x^{2}-9 ด้วย 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 เพื่อรับ 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 เมื่อต้องการแยกตัวประกอบผลลัพธ์ ให้แก้ไขสมการที่มีค่าเท่ากับ 0

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 9 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 10 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=-\frac{1}{2}$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 ด้วย 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 เพื่อรับ 5x^{2}+9 เมื่อต้องการแยกตัวประกอบผลลัพธ์ ให้แก้ไขสมการที่มีค่าเท่ากับ 0

$$5x^{2}+9=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 5 สำหรับ a 0 สำหรับ b และ 9 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

พหุนาม 5x^{2}+9 ไม่มีการแยกตัวประกอบเนื่องจากไม่มีรากตรรกยะ

$$5x^{2}+9$$

เขียนนิพจน์ที่แยกตัวประกอบโดยใช้รากที่ได้รับใหม่

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

หาค่า

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$