แก้โจทย์ = ∫ (from 0 to n pi) of (sinx-cosx) wrt x

$$= \int _ { 0 } ^ { n \pi } ( \sin x - \cos x ) d x$$

หาค่า

$$-\sqrt{2}\sin(\frac{\pi \left(4n+1\right)}{4})+1$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int \sin(x)-\cos(x)\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int \sin(x)\mathrm{d}x+\int -\cos(x)\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int \sin(x)\mathrm{d}x-\int \cos(x)\mathrm{d}x$$

ใช้ \int \sin(x)\mathrm{d}x=-\cos(x) จากตารางของอินทิกรัลทั่วไปเพื่อรับผลลัพธ์

$$-\cos(x)-\int \cos(x)\mathrm{d}x$$

ใช้ \int \cos(x)\mathrm{d}x=\sin(x) จากตารางของอินทิกรัลทั่วไปเพื่อรับผลลัพธ์

$$-\cos(x)-\sin(x)$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$-\cos(n\pi )-\sin(n\pi )-\left(-\cos(0)-\sin(0)\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-\sqrt{2}\sin(\frac{1}{4}\pi \left(4n+1\right))+1$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. n

$$-\pi \sqrt{2}\cos(\frac{\pi \left(4n+1\right)}{4})$$