Lös 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3,31662479i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 12 och c med 40 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Kvadrera 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

Addera 144 till -320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur -176.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} när ± är plus. Addera -12 till 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

Dela -12+4i\sqrt{11} med 4.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} när ± är minus. Subtrahera 4i\sqrt{11} från -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

Dela -12-4i\sqrt{11} med 4.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Subtrahera 40 från båda ekvationsled.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

Subtraktion av 40 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

Dela 12 med 2.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

Dela -40 med 2.

$$x^{2}+6x=-20$$

Dividera 6, koefficienten för termen x, med 2 för att få 3. Addera sedan kvadraten av 3 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

Kvadrera 3.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

Addera -20 till 9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

Faktorisera x^{2}+6x+9. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Förenkla.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$