Решить z^2-2iz+3=0

$$z ^ { 2 } - 2 i z + 3 = 0$$

Найдите z

$$z=3i$$

$$z=-i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -2i вместо b и 3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{2i±\sqrt{\left(-2i\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

Возведите -2i в квадрат.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-4\times 3}}{2}$$

Умножьте -4 на 3.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-12}}{2}$$

Прибавьте -4 к -12.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-16}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -16.

$$z=\frac{2i±4i}{2}$$

Решите уравнение z=\frac{2i±4i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2i к 4i.

$$z=\frac{6i}{2}$$

Разделите 6i на 2.

$$z=3i$$

Решите уравнение z=\frac{2i±4i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 4i из 2i.

$$z=\frac{-2i}{2}$$

Разделите -2i на 2.

$$z=-i$$

Уравнение решено.

$$z=3i z=-i$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$z^{2}-2iz+3-3=-3$$

Если из 3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$z^{2}-2iz=-3$$

Деление -2i, коэффициент x термина, 2 для получения -i. Затем добавьте квадрат -i к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$z^{2}-2iz+\left(-i\right)^{2}=-3+\left(-i\right)^{2}$$

Возведите -i в квадрат.

$$z^{2}-2iz-1=-3-1$$

Прибавьте -3 к -1.

$$z^{2}-2iz-1=-4$$

Коэффициент z^{2}-2iz-1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-i\right)^{2}=-4$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z-i\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

Упростите.

$$z-i=2i z-i=-2i$$

Прибавьте i к обеим частям уравнения.

$$z=3i z=-i$$