Решить z^2+3z-10=0

$$z ^ { 2 } + 3 z - 10 = 0$$

Найдите z

$$z=-5$$

$$z=2$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор z^{2}+3z-10 с помощью формулы z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=-10$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -10.

$$-1,10 -2,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-2 b=5$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(z+a\right)\left(z+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите z-2=0 и z+5=0у.

$$z=2 z=-5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: z^{2}+az+bz-10. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -10.

$$-1,10 -2,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-2 b=5$$

Перепишите z^{2}+3z-10 как \left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right).

$$\left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right)$$

Разложите z в первом и 5 в второй группе.

$$z\left(z-2\right)+5\left(z-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член z-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите z-2=0 и z+5=0у.

$$z=2 z=-5$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 3 вместо b и -10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-10\right)}}{2}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-10\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -10.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2}$$

Прибавьте 9 к 40.

$$z=\frac{-3±\sqrt{49}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$z=\frac{-3±7}{2}$$

Решите уравнение z=\frac{-3±7}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 7.

$$z=\frac{4}{2}$$

Разделите 4 на 2.

$$z=2$$

Решите уравнение z=\frac{-3±7}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из -3.

$$z=-\frac{10}{2}$$

Разделите -10 на 2.

$$z=-5$$

Уравнение решено.

$$z=2 z=-5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Прибавьте 10 к обеим частям уравнения.

$$z^{2}+3z-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Если из -10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$z^{2}+3z=-\left(-10\right)$$

Вычтите -10 из 0.

$$z^{2}+3z=10$$

Деление 3, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 10 к \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Коэффициент z^{2}+3z+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Упростите.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$z=2 z=-5$$