Решить z^2+16z+64=7

$$z ^ { 2 } + 16 z + 64 = 7$$

Найдите z

$$z=\sqrt{7}-8\approx -5,354248689$$

$$z=-\sqrt{7}-8\approx -10,645751311$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$z^{2}+16z+64=7$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$z^{2}+16z+64-7=7-7$$

Если из 7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$z^{2}+16z+64-7=0$$

Вычтите 7 из 64.

$$z^{2}+16z+57=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 16 вместо b и 57 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 57}}{2}$$

Возведите 16 в квадрат.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 57}}{2}$$

Умножьте -4 на 57.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-228}}{2}$$

Прибавьте 256 к -228.

$$z=\frac{-16±\sqrt{28}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 28.

$$z=\frac{-16±2\sqrt{7}}{2}$$

Решите уравнение z=\frac{-16±2\sqrt{7}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -16 к 2\sqrt{7}.

$$z=\frac{2\sqrt{7}-16}{2}$$

Разделите -16+2\sqrt{7} на 2.

$$z=\sqrt{7}-8$$

Решите уравнение z=\frac{-16±2\sqrt{7}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{7} из -16.

$$z=\frac{-2\sqrt{7}-16}{2}$$

Разделите -16-2\sqrt{7} на 2.

$$z=-\sqrt{7}-8$$

Уравнение решено.

$$z=\sqrt{7}-8 z=-\sqrt{7}-8$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Коэффициент z^{2}+16z+64. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+8\right)^{2}=7$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z+8\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Упростите.

$$z+8=\sqrt{7} z+8=-\sqrt{7}$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$z=\sqrt{7}-8 z=-\sqrt{7}-8$$