Решить y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Найдите y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Выберите одно из уравнений и решите его для y путем изоляция y в левой части уравнения.

$$y-3x=2$$

Прибавьте 3x к обеим частям уравнения.

$$y=3x+2$$

Подставьте 3x+2 вместо y в другом уравнении -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Умножьте -2 на 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Прибавьте -6x к 7x.

$$x-4=8$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$x=12$$

Подставьте 12 вместо x в y=3x+2. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=3\times 12+2$$

Умножьте 3 на 12.

$$y=36+2$$

Прибавьте 2 к 36.

$$y=38$$

Система решена.

$$y=38,x=12$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы y и x.

$$y=38,x=12$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Чтобы сделать y и -2y равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -2 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Упростите.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Вычтите -2y+7x=8 из -2y+6x=-4 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Прибавьте -2y к 2y. Члены -2y и 2y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$6x-7x=-4-8$$

Прибавьте 6x к -7x.

$$-x=-4-8$$

Прибавьте -4 к -8.

$$-x=-12$$

Разделите обе части на -1.

$$x=12$$

Подставьте 12 вместо x в -2y+7x=8. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$-2y+7\times 12=8$$

Умножьте 7 на 12.

$$-2y+84=8$$

Вычтите 84 из обеих частей уравнения.

$$-2y=-76$$

Разделите обе части на -2.

$$y=38$$

Система решена.

$$y=38,x=12$$