Решить y(t)=t/3-t+5

$$y ( t ) = \frac { t } { 3 - t } + 5$$

Вычислить

$$\frac{15-4t}{3-t}$$

Краткая последовательность решения

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Умножьте 5 на \frac{3-t}{3-t}.

$$\frac{t}{3-t}+\frac{5\left(3-t\right)}{3-t}$$

Поскольку числа \frac{t}{3-t} и \frac{5\left(3-t\right)}{3-t} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{t+5\left(3-t\right)}{3-t}$$

Выполните умножение в t+5\left(3-t\right).

$$\frac{t+15-5t}{3-t}$$

Приведите подобные члены в t+15-5t.

$$\frac{-4t+15}{3-t}$$

Дифференцировать по t

$$\frac{3}{\left(t-3\right)^{2}}$$

Действия с использованием правила производной для частного

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Умножьте 5 на \frac{3-t}{3-t}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{t}{3-t}+\frac{5\left(3-t\right)}{3-t})$$

Поскольку числа \frac{t}{3-t} и \frac{5\left(3-t\right)}{3-t} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{t+5\left(3-t\right)}{3-t})$$

Выполните умножение в t+5\left(3-t\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{t+15-5t}{3-t})$$

Приведите подобные члены в t+15-5t.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{-4t+15}{3-t})$$

Для двух любых дифференцируемых функций производная частного этих функций равна разности произведения знаменателя и производной числителя и произведения числителя и производной знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

$$\frac{\left(-t^{1}+3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(-4t^{1}+15)-\left(-4t^{1}+15\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(-t^{1}+3)}{\left(-t^{1}+3\right)^{2}}$$

Производная многочлена равна сумме производных его членов. Производная любой константы равна 0. Производная ax^{n} равна nax^{n-1}.

$$\frac{\left(-t^{1}+3\right)\left(-4\right)t^{1-1}-\left(-4t^{1}+15\right)\left(-1\right)t^{1-1}}{\left(-t^{1}+3\right)^{2}}$$

Выполните арифметические операции.

$$\frac{\left(-t^{1}+3\right)\left(-4\right)t^{0}-\left(-4t^{1}+15\right)\left(-1\right)t^{0}}{\left(-t^{1}+3\right)^{2}}$$

Разложите, используя свойство дистрибутивности.

$$\frac{-t^{1}\left(-4\right)t^{0}+3\left(-4\right)t^{0}-\left(-4t^{1}\left(-1\right)t^{0}+15\left(-1\right)t^{0}\right)}{\left(-t^{1}+3\right)^{2}}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели.

$$\frac{-\left(-4\right)t^{1}+3\left(-4\right)t^{0}-\left(-4\left(-1\right)t^{1}+15\left(-1\right)t^{0}\right)}{\left(-t^{1}+3\right)^{2}}$$

Выполните арифметические операции.

$$\frac{4t^{1}-12t^{0}-\left(4t^{1}-15t^{0}\right)}{\left(-t^{1}+3\right)^{2}}$$

Удалите лишние скобки.

$$\frac{4t^{1}-12t^{0}-4t^{1}-\left(-15t^{0}\right)}{\left(-t^{1}+3\right)^{2}}$$

Объедините подобные члены.

$$\frac{\left(4-4\right)t^{1}+\left(-12-\left(-15\right)\right)t^{0}}{\left(-t^{1}+3\right)^{2}}$$

Вычтите 4 из 4 и -15 из -12.

$$\frac{3t^{0}}{\left(-t^{1}+3\right)^{2}}$$

Для любого члена t, t^{1}=t.

$$\frac{3t^{0}}{\left(-t+3\right)^{2}}$$

Для любого члена t, за исключением 0, t^{0}=1.

$$\frac{3\times 1}{\left(-t+3\right)^{2}}$$

Для любого члена t, t\times 1=t и 1t=t.

$$\frac{3}{\left(-t+3\right)^{2}}$$