Решить y^2-y+7=0

$$y ^ { 2 } - y + 7 = 0$$

Найдите y

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+2,598076211i$$

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0,5-2,598076211i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$y^{2}-y+7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -1 вместо b и 7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 7}}{2}$$

Умножьте -4 на 7.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-28}}{2}$$

Прибавьте 1 к -28.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-27}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -27.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±3\sqrt{3}i}{2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2}$$

Решите уравнение y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 3i\sqrt{3}.

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2}$$

Решите уравнение y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 3i\sqrt{3} из 1.

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$

Уравнение решено.

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2} y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-y+7=0$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$y^{2}-y+7-7=-7$$

Если из 7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$y^{2}-y=-7$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=-7+\frac{1}{4}$$

Прибавьте -7 к \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=-\frac{27}{4}$$

Коэффициент y^{2}-y+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{27}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{4}}$$

Упростите.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}i}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{3}i}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2} y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$