Решить y^2-10y+16=0

$$y ^ { 2 } - 10 y + 16 = 0$$

Найдите y

$$y=2$$

$$y=8$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите y^{2}-10y+16 на множители по формуле y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-10 ab=16$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 16 продукта.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -10.

$$a=-8 b=-2$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(y+a\right)\left(y+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите y-8=0 и y-2=0.

$$y=8 y=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: y^{2}+ay+by+16. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-10 ab=1\times 16=16$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 16 продукта.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -10.

$$a=-8 b=-2$$

Перепишите y^{2}-10y+16 как \left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right).

$$\left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right)$$

Вынесите за скобки y в первой и -2 во второй группе.

$$y\left(y-8\right)-2\left(y-8\right)$$

Вынесите за скобки общий член y-8, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите y-8=0 и y-2=0.

$$y=8 y=2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$y^{2}-10y+16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -10 вместо b и 16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 16}}{2}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 16}}{2}$$

Умножьте -4 на 16.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-64}}{2}$$

Прибавьте 100 к -64.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 36.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±6}{2}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$y=\frac{10±6}{2}$$

Решите уравнение y=\frac{10±6}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 6.

$$y=\frac{16}{2}$$

Разделите 16 на 2.

$$y=8$$

Решите уравнение y=\frac{10±6}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 6 из 10.

$$y=\frac{4}{2}$$

Разделите 4 на 2.

$$y=2$$

Уравнение решено.

$$y=8 y=2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-10y+16=0$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$y^{2}-10y+16-16=-16$$

Если из 16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$y^{2}-10y=-16$$

Разделите -10, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -5. Затем добавьте квадрат -5 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=-16+\left(-5\right)^{2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$y^{2}-10y+25=-16+25$$

Прибавьте -16 к 25.

$$y^{2}-10y+25=9$$

Разложите y^{2}-10y+25 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-5\right)^{2}=9$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Упростите.

$$y-5=3 y-5=-3$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$y=8 y=2$$