Решить y^2+7y-60=0

$$y ^ { 2 } + 7 y - 60 = 0$$

Найдите y

$$y=-12$$

$$y=5$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор y^{2}+7y-60 с помощью формулы y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=7 ab=-60$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=-5 b=12$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(y+a\right)\left(y+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(y-5\right)\left(y+12\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите y-5=0 и y+12=0у.

$$y=5 y=-12$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: y^{2}+ay+by-60. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=7 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=-5 b=12$$

Перепишите y^{2}+7y-60 как \left(y^{2}-5y\right)+\left(12y-60\right).

$$\left(y^{2}-5y\right)+\left(12y-60\right)$$

Разложите y в первом и 12 в второй группе.

$$y\left(y-5\right)+12\left(y-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член y-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(y-5\right)\left(y+12\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите y-5=0 и y+12=0у.

$$y=5 y=-12$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$y^{2}+7y-60=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 7 вместо b и -60 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$y=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-60\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -60.

$$y=\frac{-7±\sqrt{49+240}}{2}$$

Прибавьте 49 к 240.

$$y=\frac{-7±\sqrt{289}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 289.

$$y=\frac{-7±17}{2}$$

Решите уравнение y=\frac{-7±17}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -7 к 17.

$$y=\frac{10}{2}$$

Разделите 10 на 2.

$$y=5$$

Решите уравнение y=\frac{-7±17}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 17 из -7.

$$y=-\frac{24}{2}$$

Разделите -24 на 2.

$$y=-12$$

Уравнение решено.

$$y=5 y=-12$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+7y-60=0$$

Прибавьте 60 к обеим частям уравнения.

$$y^{2}+7y-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Если из -60 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$y^{2}+7y=-\left(-60\right)$$

Вычтите -60 из 0.

$$y^{2}+7y=60$$

Деление 7, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}+7y+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=60+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}+7y+\frac{49}{4}=60+\frac{49}{4}$$

Прибавьте 60 к \frac{49}{4}.

$$y^{2}+7y+\frac{49}{4}=\frac{289}{4}$$

Коэффициент y^{2}+7y+\frac{49}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Упростите.

$$y+\frac{7}{2}=\frac{17}{2} y+\frac{7}{2}=-\frac{17}{2}$$

Вычтите \frac{7}{2} из обеих частей уравнения.

$$y=5 y=-12$$