Решить y=x^2+y^2x/2

$$y = x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } x } { 2 }$$

Найдите y

$$\left\{\begin{matrix}y=-\frac{\sqrt{1-2x^{3}}-1}{x}\text{; }y=\frac{\sqrt{1-2x^{3}}+1}{x}\text{, }&x\neq 0\text{ and }x\leq \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}\\y=0\text{, }&x=0\end{matrix}\right.$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$y-x^{2}=\frac{y^{2}x}{2}$$

Вычтите \frac{y^{2}x}{2} из обеих частей уравнения.

$$y-x^{2}-\frac{y^{2}x}{2}=0$$

Умножьте обе части уравнения на 2.

$$2y-2x^{2}-y^{2}x=0$$

Упорядочите члены.

$$-2x^{2}-xy^{2}+2y=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$\left(-x\right)y^{2}+2y-2x^{2}=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -x вместо a, 2 вместо b и -2x^{2} вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-x\right)\left(-2x^{2}\right)}}{2\left(-x\right)}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-x\right)\left(-2x^{2}\right)}}{2\left(-x\right)}$$

Умножьте -4 на -x.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+4x\left(-2x^{2}\right)}}{2\left(-x\right)}$$

Умножьте 4x на -2x^{2}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8x^{3}}}{2\left(-x\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 4-8x^{3}.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{1-2x^{3}}}{2\left(-x\right)}$$

Умножьте 2 на -x.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{1-2x^{3}}}{-2x}$$

Решите уравнение y=\frac{-2±2\sqrt{1-2x^{3}}}{-2x} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 2\sqrt{1-2x^{3}}.

$$y=\frac{2\sqrt{1-2x^{3}}-2}{-2x}$$

Разделите -2+2\sqrt{1-2x^{3}} на -2x.

$$y=-\frac{\sqrt{1-2x^{3}}-1}{x}$$

Решите уравнение y=\frac{-2±2\sqrt{1-2x^{3}}}{-2x} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{1-2x^{3}} из -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{1-2x^{3}}-2}{-2x}$$

Разделите -2-2\sqrt{1-2x^{3}} на -2x.

$$y=\frac{\sqrt{1-2x^{3}}+1}{x}$$

Уравнение решено.

$$y=-\frac{\sqrt{1-2x^{3}}-1}{x} y=\frac{\sqrt{1-2x^{3}}+1}{x}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычтите \frac{y^{2}x}{2} из обеих частей уравнения.

$$y-\frac{y^{2}x}{2}=x^{2}$$

Умножьте обе части уравнения на 2.

$$2y-y^{2}x=2x^{2}$$

Упорядочите члены.

$$-xy^{2}+2y=2x^{2}$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$\left(-x\right)y^{2}+2y=2x^{2}$$

Разделите обе части на -x.

$$\frac{\left(-x\right)y^{2}+2y}{-x}=\frac{2x^{2}}{-x}$$

Деление на -x аннулирует операцию умножения на -x.

$$y^{2}+\frac{2}{-x}y=\frac{2x^{2}}{-x}$$

Разделите 2 на -x.

$$y^{2}+\left(-\frac{2}{x}\right)y=\frac{2x^{2}}{-x}$$

Разделите 2x^{2} на -x.

$$y^{2}+\left(-\frac{2}{x}\right)y=-2x$$

Разделите -\frac{2}{x}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{1}{x}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{x} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$y^{2}+\left(-\frac{2}{x}\right)y+\left(-\frac{1}{x}\right)^{2}=-2x+\left(-\frac{1}{x}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{x} в квадрат.

$$y^{2}+\left(-\frac{2}{x}\right)y+\frac{1}{x^{2}}=-2x+\frac{1}{x^{2}}$$

Разложите y^{2}+\left(-\frac{2}{x}\right)y+\frac{1}{x^{2}} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{x}\right)^{2}=-2x+\frac{1}{x^{2}}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{x}\right)^{2}}=\sqrt{-2x+\frac{1}{x^{2}}}$$

Упростите.

$$y-\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{1-2x^{3}}}{|x|} y-\frac{1}{x}=-\frac{\sqrt{1-2x^{3}}}{|x|}$$

Прибавьте \frac{1}{x} к обеим частям уравнения.

$$y=\frac{\sqrt{1-2x^{3}}}{|x|}+\frac{1}{x} y=-\frac{\sqrt{1-2x^{3}}}{|x|}+\frac{1}{x}$$

Найдите x

$$x=\frac{-\sqrt{y^{4}+16y}-y^{2}}{4}$$

$$x=\frac{\sqrt{y^{4}+16y}-y^{2}}{4}\text{, }y\leq -2^{\frac{4}{3}}\text{ or }y\geq 0$$