Решить y=x+5;quady=3-x

$$y = x + 5 ; \quad y = 3 - x$$

Найдите y, x

$$x=-1$$

$$y=4$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$y-x=5$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте x к обеим частям.

$$y+x=3$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$y-x=5,y+x=3$$

Выберите одно из уравнений и решите его для y путем изоляция y в левой части уравнения.

$$y-x=5$$

Прибавьте x к обеим частям уравнения.

$$y=x+5$$

Подставьте x+5 вместо y в другом уравнении y+x=3.

$$x+5+x=3$$

Прибавьте x к x.

$$2x+5=3$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$2x=-2$$

Разделите обе части на 2.

$$x=-1$$

Подставьте -1 вместо x в y=x+5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=-1+5$$

Прибавьте 5 к -1.

$$y=4$$

Система решена.

$$y=4,x=-1$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$y-x=5$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте x к обеим частям.

$$y+x=3$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$y-x=5,y+x=3$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы y и x.

$$y=4,x=-1$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$y-x=5$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте x к обеим частям.

$$y+x=3$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$y-x=5,y+x=3$$

Вычтите y+x=3 из y-x=5 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$y-y-x-x=5-3$$

Прибавьте y к -y. Члены y и -y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-x-x=5-3$$

Прибавьте -x к -x.

$$-2x=5-3$$

Прибавьте 5 к -3.

$$-2x=2$$

Разделите обе части на -2.

$$x=-1$$

Подставьте -1 вместо x в y+x=3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y-1=3$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$y=4$$

Система решена.

$$y=4,x=-1$$