Решить y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Найдите y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$y-2x=-1$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Выберите один из уравнений и решите его для y, изолируя y в левой части знака равенства.

$$y-2x=-1$$

Прибавьте 2x к обеим частям уравнения.

$$y=2x-1$$

Подставьте 2x-1 вместо y в другом уравнении y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Прибавьте 2x к 2x.

$$4x-1=3$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$4x=4$$

Разделите обе части на 4.

$$x=1$$

Подставьте 1 вместо x в y=2x-1. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=2-1$$

Прибавьте -1 к 2.

$$y=1$$

Система решена.

$$y=1,x=1$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$y-2x=-1$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы y и x.

$$y=1,x=1$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$y-2x=-1$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Вычтите y+2x=3 из y-2x=-1 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Прибавьте y к -y. Члены y и -y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-2x-2x=-1-3$$

Прибавьте -2x к -2x.

$$-4x=-1-3$$

Прибавьте -1 к -3.

$$-4x=-4$$

Разделите обе части на -4.

$$x=1$$

Подставьте 1 вместо x в y+2x=3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y+2=3$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$y=1$$

Система решена.

$$y=1,x=1$$