Решить y=2x/5text{y}5x+y+5=0

$$y = 2 x / 5 \text { y } 5 x + y + 5 = 0$$

Найдите y, x

$$x=-\frac{25}{27}\approx -0,925925926$$

$$y=-\frac{10}{27}\approx -0,37037037$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите \frac{2x}{5} из обеих частей уравнения.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

Умножьте обе части уравнения на 5.

$$5y-2x=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите 5 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$5x+y=-5$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

Выберите одно из уравнений и решите его для y путем изоляция y в левой части уравнения.

$$5y-2x=0$$

Прибавьте 2x к обеим частям уравнения.

$$5y=2x$$

Разделите обе части на 5.

$$y=\frac{1}{5}\times 2x$$

Умножьте \frac{1}{5} на 2x.

$$y=\frac{2}{5}x$$

Подставьте \frac{2x}{5} вместо y в другом уравнении y+5x=-5.

$$\frac{2}{5}x+5x=-5$$

Прибавьте \frac{2x}{5} к 5x.

$$\frac{27}{5}x=-5$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{27}{5}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$x=-\frac{25}{27}$$

Подставьте -\frac{25}{27} вместо x в y=\frac{2}{5}x. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=\frac{2}{5}\left(-\frac{25}{27}\right)$$

Умножьте \frac{2}{5} на -\frac{25}{27}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$y=-\frac{10}{27}$$

Система решена.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите \frac{2x}{5} из обеих частей уравнения.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

Умножьте обе части уравнения на 5.

$$5y-2x=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите 5 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$5x+y=-5$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\times 5-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}&\frac{2}{27}\\-\frac{1}{27}&\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-5\right)\\\frac{5}{27}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{27}\\-\frac{25}{27}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы y и x.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите \frac{2x}{5} из обеих частей уравнения.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

Умножьте обе части уравнения на 5.

$$5y-2x=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Вычтите 5 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$5x+y=-5$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

Чтобы сделать 5y и y равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 5.

$$5y-2x=0,5y+5\times 5x=5\left(-5\right)$$

Упростите.

$$5y-2x=0,5y+25x=-25$$

Вычтите 5y+25x=-25 из 5y-2x=0 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$5y-5y-2x-25x=25$$

Прибавьте 5y к -5y. Члены 5y и -5y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-2x-25x=25$$

Прибавьте -2x к -25x.

$$-27x=25$$

Разделите обе части на -27.

$$x=-\frac{25}{27}$$

Подставьте -\frac{25}{27} вместо x в y+5x=-5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y+5\left(-\frac{25}{27}\right)=-5$$

Умножьте 5 на -\frac{25}{27}.

$$y-\frac{125}{27}=-5$$

Прибавьте \frac{125}{27} к обеим частям уравнения.

$$y=-\frac{10}{27}$$

Система решена.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$