Решить y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Найдите y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$y-2x=1$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Выберите одно из уравнений и решите его для y путем изоляция y в левой части уравнения.

$$y-2x=1$$

Прибавьте 2x к обеим частям уравнения.

$$y=2x+1$$

Подставьте 2x+1 вместо y в другом уравнении y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Прибавьте 2x к x.

$$3x+1=7$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$3x=6$$

Разделите обе части на 3.

$$x=2$$

Подставьте 2 вместо x в y=2x+1. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=2\times 2+1$$

Умножьте 2 на 2.

$$y=4+1$$

Прибавьте 1 к 4.

$$y=5$$

Система решена.

$$y=5,x=2$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$y-2x=1$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы y и x.

$$y=5,x=2$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$y-2x=1$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Вычтите y+x=7 из y-2x=1 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Прибавьте y к -y. Члены y и -y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-2x-x=1-7$$

Прибавьте -2x к -x.

$$-3x=1-7$$

Прибавьте 1 к -7.

$$-3x=-6$$

Разделите обе части на -3.

$$x=2$$

Подставьте 2 вместо x в y+x=7. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y+2=7$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$y=5$$

Система решена.

$$y=5,x=2$$