Решить y=1/3xquadtext{26}y=-5x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x \quad \text { 26 } y = - 5 x$$

Найдите y, x

$$x=0$$

$$y=0$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите \frac{1}{3}x из обеих частей уравнения.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 5x к обеим частям.

$$y+5x=0$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+5x=0$$

Выберите одно из уравнений и решите его для y путем изоляция y в левой части уравнения.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Прибавьте \frac{x}{3} к обеим частям уравнения.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Подставьте \frac{x}{3} вместо y в другом уравнении y+5x=0.

$$\frac{1}{3}x+5x=0$$

Прибавьте \frac{x}{3} к 5x.

$$\frac{16}{3}x=0$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{16}{3}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$x=0$$

Подставьте 0 вместо x в y=\frac{1}{3}x. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=0$$

Система решена.

$$y=0,x=0$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите \frac{1}{3}x из обеих частей уравнения.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 5x к обеим частям.

$$y+5x=0$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+5x=0$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{5-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{5-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{3}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы y и x.

$$y=0,x=0$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите \frac{1}{3}x из обеих частей уравнения.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 5x к обеим частям.

$$y+5x=0$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+5x=0$$

Вычтите y+5x=0 из y-\frac{1}{3}x=0 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$y-y-\frac{1}{3}x-5x=0$$

Прибавьте y к -y. Члены y и -y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-\frac{1}{3}x-5x=0$$

Прибавьте -\frac{x}{3} к -5x.

$$-\frac{16}{3}x=0$$

Разделите обе стороны уравнения на -\frac{16}{3}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$x=0$$

Подставьте 0 вместо x в y+5x=0. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=0$$

Система решена.

$$y=0,x=0$$