Решить y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Найдите y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите \frac{1}{3}x из обеих частей уравнения.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 3x к обеим частям.

$$y+3x=60$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Выберите одно из уравнений и решите его для y путем изоляция y в левой части уравнения.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Прибавьте \frac{x}{3} к обеим частям уравнения.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Подставьте \frac{x}{3} вместо y в другом уравнении y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Прибавьте \frac{x}{3} к 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{10}{3}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$x=18$$

Подставьте 18 вместо x в y=\frac{1}{3}x. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Умножьте \frac{1}{3} на 18.

$$y=6$$

Система решена.

$$y=6,x=18$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите \frac{1}{3}x из обеих частей уравнения.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 3x к обеим частям.

$$y+3x=60$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы y и x.

$$y=6,x=18$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите \frac{1}{3}x из обеих частей уравнения.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 3x к обеим частям.

$$y+3x=60$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Вычтите y+3x=60 из y-\frac{1}{3}x=0 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Прибавьте y к -y. Члены y и -y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Прибавьте -\frac{x}{3} к -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Разделите обе стороны уравнения на -\frac{10}{3}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$x=18$$

Подставьте 18 вместо x в y+3x=60. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y+3\times 18=60$$

Умножьте 3 на 18.

$$y+54=60$$

Вычтите 54 из обеих частей уравнения.

$$y=6$$

Система решена.

$$y=6,x=18$$