Решить x=-16x^2+81x+5

$$x=-16 { x }^{ 2 } +81x+5$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx 5,061737691$$

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx -0,061737691$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Прибавьте 16x^{2} к обеим частям.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Вычтите 81x из обеих частей уравнения.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Объедините x и -81x, чтобы получить -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$-80x+16x^{2}-5=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$16x^{2}-80x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 16 вместо a, -80 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Возведите -80 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Умножьте -4 на 16.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Умножьте -64 на -5.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+320}}{2\times 16}$$

Прибавьте 6400 к 320.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6720}}{2\times 16}$$

Извлеките квадратный корень из 6720.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Число, противоположное -80, равно 80.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Умножьте 2 на 16.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}$$

Решите уравнение x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 80 к 8\sqrt{105}.

$$x=\frac{8\sqrt{105}+80}{32}$$

Разделите 80+8\sqrt{105} на 32.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32} при условии, что ± — минус. Вычтите 8\sqrt{105} из 80.

$$x=\frac{80-8\sqrt{105}}{32}$$

Разделите 80-8\sqrt{105} на 32.

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Прибавьте 16x^{2} к обеим частям.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Вычтите 81x из обеих частей уравнения.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Объедините x и -81x, чтобы получить -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-80x=5$$

Разделите обе части на 16.

$$\frac{16x^{2}-80x}{16}=\frac{5}{16}$$

Деление на 16 аннулирует операцию умножения на 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{16}\right)x=\frac{5}{16}$$

Разделите -80 на 16.

$$x^{2}-5x=\frac{5}{16}$$

Деление -5, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{16}+\frac{25}{4}$$

Прибавьте \frac{5}{16} к \frac{25}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{16}$$

Коэффициент x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105}}{4} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$