Решить x+3sqrt{x}+4=0

$$x+3 \sqrt{ x } +4 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}\approx 0,5-3,968626967i$$

Действия по решению

Вычтите x+4 из обеих частей уравнения.

$$3\sqrt{x}=-\left(x+4\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x+4, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$3\sqrt{x}=-x-4$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(3\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-x-4\right)^{2}$$

Разложите \left(3\sqrt{x}\right)^{2}.

$$3^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-x-4\right)^{2}$$

Вычислите 3 в степени 2 и получите 9.

$$9\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-x-4\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x} в степени 2 и получите x.

$$9x=\left(-x-4\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(-x-4\right)^{2}.

$$9x=x^{2}+8x+16$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$9x-x^{2}=8x+16$$

Вычтите 8x из обеих частей уравнения.

$$9x-x^{2}-8x=16$$

Объедините 9x и -8x, чтобы получить x.

$$x-x^{2}=16$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$x-x^{2}-16=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+x-16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 1 вместо b и -16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -16.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-64}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 1 к -64.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-63}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -63.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к 3i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{7}i}{-2}$$

Разделите -1+3i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 3i\sqrt{7} из -1.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i-1}{-2}$$

Разделите -1-3i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{2}$$

Подставьте \frac{-3\sqrt{7}i+1}{2} вместо x в уравнении x+3\sqrt{x}+4=0.

$$\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}+3\sqrt{\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}}+4=0$$

Упростите. Значение x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2} удовлетворяет уравнению.

$$0=0$$

Подставьте \frac{1+3\sqrt{7}i}{2} вместо x в уравнении x+3\sqrt{x}+4=0.

$$\frac{1+3\sqrt{7}i}{2}+3\sqrt{\frac{1+3\sqrt{7}i}{2}}+4=0$$

Упростите. Значение x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{2} не соответствует уравнению.

$$9+3i\times 7^{\frac{1}{2}}=0$$

Уравнение 3\sqrt{x}=-x-4 имеет уникальное решение.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}$$