Решить x+sqrt{4x}-5=0

$$x+ \sqrt{ 4x } -5 = 0$$

Найдите x

$$x=7-2\sqrt{6}\approx 2,101020514$$

Действия по решению

Вычтите x-5 из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{4x}=-\left(x-5\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x-5, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$\sqrt{4x}=-x-\left(-5\right)$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$\sqrt{4x}=-x+5$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{4x}\right)^{2}=\left(-x+5\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{4x} в степени 2 и получите 4x.

$$4x=\left(-x+5\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(-x+5\right)^{2}.

$$4x=x^{2}-10x+25$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4x-x^{2}=-10x+25$$

Прибавьте 10x к обеим частям.

$$4x-x^{2}+10x=25$$

Объедините 4x и 10x, чтобы получить 14x.

$$14x-x^{2}=25$$

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$14x-x^{2}-25=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+14x-25=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 14 вместо b и -25 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-25\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 14 в квадрат.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-25\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-25\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -25.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-100}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 196 к -100.

$$x=\frac{-14±\sqrt{96}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 96.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{6}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{6}}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±4\sqrt{6}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -14 к 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}-14}{-2}$$

Разделите -14+4\sqrt{6} на -2.

$$x=7-2\sqrt{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±4\sqrt{6}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{6} из -14.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}-14}{-2}$$

Разделите -14-4\sqrt{6} на -2.

$$x=2\sqrt{6}+7$$

Уравнение решено.

$$x=7-2\sqrt{6} x=2\sqrt{6}+7$$

Подставьте 7-2\sqrt{6} вместо x в уравнении x+\sqrt{4x}-5=0.

$$7-2\sqrt{6}+\sqrt{4\left(7-2\sqrt{6}\right)}-5=0$$

Упростите. Значение x=7-2\sqrt{6} удовлетворяет уравнению.

$$0=0$$

Подставьте 2\sqrt{6}+7 вместо x в уравнении x+\sqrt{4x}-5=0.

$$2\sqrt{6}+7+\sqrt{4\left(2\sqrt{6}+7\right)}-5=0$$

Упростите. Значение x=2\sqrt{6}+7 не соответствует уравнению.

$$4\times 6^{\frac{1}{2}}+4=0$$

Уравнение \sqrt{4x}=5-x имеет уникальное решение.

$$x=7-2\sqrt{6}$$