Решить x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Найдите x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$x-y=5$$

Прибавьте y к обеим частям уравнения.

$$x=y+5$$

Подставьте y+5 вместо x в другом уравнении -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Умножьте -4 на y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Прибавьте -4y к 5y.

$$y-20=7$$

Прибавьте 20 к обеим частям уравнения.

$$y=27$$

Подставьте 27 вместо y в x=y+5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=27+5$$

Прибавьте 5 к 27.

$$x=32$$

Система решена.

$$x=32,y=27$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=32,y=27$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Чтобы сделать x и -4x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -4 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Упростите.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Вычтите -4x+5y=7 из -4x+4y=-20 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Прибавьте -4x к 4x. Члены -4x и 4x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$4y-5y=-20-7$$

Прибавьте 4y к -5y.

$$-y=-20-7$$

Прибавьте -20 к -7.

$$-y=-27$$

Разделите обе части на -1.

$$y=27$$

Подставьте 27 вместо y в -4x+5y=7. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$-4x+5\times 27=7$$

Умножьте 5 на 27.

$$-4x+135=7$$

Вычтите 135 из обеих частей уравнения.

$$-4x=-128$$

Разделите обе части на -4.

$$x=32$$

Система решена.

$$x=32,y=27$$