Решить x(32-2x)-120=0

$$x ( 32 - 2 x ) - 120 = 0$$

Найдите x

$$x=6$$

$$x=10$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы умножить x на 32-2x, используйте свойство дистрибутивности.

$$32x-2x^{2}-120=0$$

Разделите обе части на 2.

$$16x-x^{2}-60=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}+16x-60=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx-60. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=16 ab=-\left(-60\right)=60$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 16.

$$a=10 b=6$$

Перепишите -x^{2}+16x-60 как \left(-x^{2}+10x\right)+\left(6x-60\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(6x-60\right)$$

Разложите -x в первом и 6 в второй группе.

$$-x\left(x-10\right)+6\left(x-10\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-10, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-10\right)\left(-x+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-10=0 и -x+6=0у.

$$x=10 x=6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить x на 32-2x, используйте свойство дистрибутивности.

$$32x-2x^{2}-120=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-2x^{2}+32x-120=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -2 вместо a, 32 вместо b и -120 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\left(-2\right)\left(-120\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Возведите 32 в квадрат.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\left(-2\right)\left(-120\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте -4 на -2.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+8\left(-120\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 8 на -120.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-960}}{2\left(-2\right)}$$

Прибавьте 1024 к -960.

$$x=\frac{-32±\sqrt{64}}{2\left(-2\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 64.

$$x=\frac{-32±8}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 2 на -2.

$$x=\frac{-32±8}{-4}$$

Решите уравнение x=\frac{-32±8}{-4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -32 к 8.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

Разделите -24 на -4.

$$x=6$$

Решите уравнение x=\frac{-32±8}{-4} при условии, что ± — минус. Вычтите 8 из -32.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

Разделите -40 на -4.

$$x=10$$

Уравнение решено.

$$x=6 x=10$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить x на 32-2x, используйте свойство дистрибутивности.

$$32x-2x^{2}-120=0$$

Прибавьте 120 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$32x-2x^{2}=120$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+32x=120$$

Разделите обе части на -2.

$$\frac{-2x^{2}+32x}{-2}=\frac{120}{-2}$$

Деление на -2 аннулирует операцию умножения на -2.

$$x^{2}+\frac{32}{-2}x=\frac{120}{-2}$$

Разделите 32 на -2.

$$x^{2}-16x=\frac{120}{-2}$$

Разделите 120 на -2.

$$x^{2}-16x=-60$$

Деление -16, коэффициент x термина, 2 для получения -8. Затем добавьте квадрат -8 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-60+\left(-8\right)^{2}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$x^{2}-16x+64=-60+64$$

Прибавьте -60 к 64.

$$x^{2}-16x+64=4$$

Коэффициент x^{2}-16x+64. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-8\right)^{2}=4$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Упростите.

$$x-8=2 x-8=-2$$

Прибавьте 8 к обеим частям уравнения.

$$x=10 x=6$$