Решить x^8+10x^4=9

$$x ^ { 8 } + 10 x ^ { 4 } = 9$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x\in \sqrt{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)\sqrt[4]{\sqrt{34}+5},\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)\sqrt[4]{\sqrt{34}+5},\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)\sqrt[4]{\sqrt{34}+5},\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)\sqrt[4]{\sqrt{34}+5},-i\sqrt[4]{\sqrt{34}-5},\sqrt[4]{\sqrt{34}-5},i\sqrt[4]{\sqrt{34}-5},-\sqrt[4]{\sqrt{34}-5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$x^{8}+10x^{4}-9=0$$

Замените t на x^{4}.

$$t^{2}+10t-9=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 10 и c на -9.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 1\left(-9\right)}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$t=\frac{-10±2\sqrt{34}}{2}$$

Решение t=\frac{-10±2\sqrt{34}}{2} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$t=\sqrt{34}-5 t=-\sqrt{34}-5$$

Так как x=t^{4}, получены решения для каждого t.

$$x=-i\sqrt[4]{\sqrt{34}-5} x=-\sqrt[4]{\sqrt{34}-5} x=i\sqrt[4]{\sqrt{34}-5} x=\sqrt[4]{\sqrt{34}-5} x=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)\sqrt[4]{4\sqrt{34}+20} x=\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)\sqrt[4]{4\sqrt{34}+20} x=\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)\sqrt[4]{4\sqrt{34}+20} x=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)\sqrt[4]{4\sqrt{34}+20}$$

Найдите x

$$x=-\sqrt[4]{\sqrt{34}-5}\approx -0,954759461$$

$$x=\sqrt[4]{\sqrt{34}-5}\approx 0,954759461$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$x^{8}+10x^{4}-9=0$$

Замените t на x^{4}.

$$t^{2}+10t-9=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 10 и c на -9.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 1\left(-9\right)}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$t=\frac{-10±2\sqrt{34}}{2}$$

Решение t=\frac{-10±2\sqrt{34}}{2} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$t=\sqrt{34}-5 t=-\sqrt{34}-5$$

Так как x=t^{4}, получаемые решения см. при проверке x=±\sqrt[4]{t} для положительных t.

$$x=\sqrt[4]{\sqrt{34}-5} x=-\sqrt[4]{\sqrt{34}-5}$$