Решить x^4-3x^3+4x^2-3x+1=0

$$x ^ { 4 } - 3 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0.5-0.866025404i$$

$$x=1$$

Действия по решению

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 1, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По теореме Безу, x-k является степенью многочлена для каждого корня k. Разделите x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-3x+1 на x-1, чтобы получить x^{3}-2x^{2}+2x-1. Решите уравнение, где результат равно 0.

$$x^{3}-2x^{2}+2x-1=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -1, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По теореме Безу, x-k является степенью многочлена для каждого корня k. Разделите x^{3}-2x^{2}+2x-1 на x-1, чтобы получить x^{2}-x+1. Решите уравнение, где результат равно 0.

$$x^{2}-x+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -1 и c на 1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

РазРешите уравнение, x^{2}-x+1=0, когда ± — плюс, а когда ±-минус.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=1 x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Найдите x

$$x=1$$

Действия по решению

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 1, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По теореме Безу, x-k является степенью многочлена для каждого корня k. Разделите x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-3x+1 на x-1, чтобы получить x^{3}-2x^{2}+2x-1. Решите уравнение, где результат равно 0.

$$x^{3}-2x^{2}+2x-1=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -1, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По теореме Безу, x-k является степенью многочлена для каждого корня k. Разделите x^{3}-2x^{2}+2x-1 на x-1, чтобы получить x^{2}-x+1. Решите уравнение, где результат равно 0.

$$x^{2}-x+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -1 и c на 1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Решения нет, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел.

$$x\in \emptyset$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=1$$