Решить x^4-21x^2+80

$$x ^ { 4 } - 21 x ^ { 2 } + 80$$

Разложить на множители

$$\left(x-4\right)\left(x+4\right)\left(x^{2}-5\right)$$

Действия по решению

Чтобы разложить выражение на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит это выражение, а в правой — 0.

$$x^{4}-21x^{2}+80=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 80, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±80,±40,±20,±16,±10,±8,±5,±4,±2,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=4$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{4}-21x^{2}+80 на x-4, чтобы получить x^{3}+4x^{2}-5x-20. Чтобы разложить результат на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит этот результат, а в правой — 0.

$$x^{3}+4x^{2}-5x-20=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -20, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-4$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{3}+4x^{2}-5x-20 на x+4, чтобы получить x^{2}-5. Чтобы разложить результат на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит этот результат, а в правой — 0.

$$x^{2}-5=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 0 и c на -5.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{0±2\sqrt{5}}{2}$$

Решение x^{2}-5=0 уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$

Перепишите разложенное на множители выражение, используя полученные корни. Многочлен x^{2}-5 не разлагается на множители, так как у него нет рациональных корней.

$$\left(x-4\right)\left(x+4\right)\left(x^{2}-5\right)$$

Вычислить

$$x^{4}-21x^{2}+80$$