Решить x^4=(2x-3)^2

$$x ^ { 4 } = ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1,414213562i$$

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1,414213562i$$

Действия по решению

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Прибавьте 12x к обеим частям.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -9, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{4}-4x^{2}+12x-9 на x-1, чтобы получить x^{3}+x^{2}-3x+9. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 9, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-3$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{3}+x^{2}-3x+9 на x+3, чтобы получить x^{2}-2x+3. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -2 и c на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Решение x^{2}-2x+3=0 уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=1 x=-3 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Найдите x

$$x=-3$$

$$x=1$$

Действия по решению

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Прибавьте 12x к обеим частям.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -9, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{4}-4x^{2}+12x-9 на x-1, чтобы получить x^{3}+x^{2}-3x+9. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 9, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-3$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{3}+x^{2}-3x+9 на x+3, чтобы получить x^{2}-2x+3. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -2 и c на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Решения нет, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел.

$$x\in \emptyset$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=1 x=-3$$