Решить x^4+6x^3-5x^2-42x+40

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

Разложить на множители

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Действия по решению

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 40, а q делит старший коэффициент 1. Одним из таких корней является -5. Разложите многочлен на множители, разделив его на x+5.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

Учтите x^{3}+x^{2}-10x+8. Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 8, а q делит старший коэффициент 1. Одним из таких корней является -4. Разложите многочлен на множители, разделив его на x+4.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

Учтите x^{2}-3x+2. Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=-2 b=-1$$

Перепишите x^{2}-3x+2 как \left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Разложите x в первом и -1 в второй группе.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Перепишите полное разложенное на множители выражение.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Вычислить

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$