Решить x^3=512

$$x ^ { 3 } = 512$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=-4\sqrt{3}i-4\approx -4-6,92820323i$$

$$x=8$$

$$x=-4+4\sqrt{3}i\approx -4+6,92820323i$$

Действия по решению

Вычтите 512 из обеих частей уравнения.

$$x^{3}-512=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -512, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±512,±256,±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=8$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{3}-512 на x-8, чтобы получить x^{2}+8x+64. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{2}+8x+64=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 8 и c на 64.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 64}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2}$$

Решение x^{2}+8x+64=0 уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=-4i\sqrt{3}-4 x=-4+4i\sqrt{3}$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=8 x=-4i\sqrt{3}-4 x=-4+4i\sqrt{3}$$

Найдите x

$$x=8$$

Действия по решению

Вычтите 512 из обеих частей уравнения.

$$x^{3}-512=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -512, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±512,±256,±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=8$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{3}-512 на x-8, чтобы получить x^{2}+8x+64. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{2}+8x+64=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 8 и c на 64.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 64}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2}$$

Решения нет, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел.

$$x\in \emptyset$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=8$$